Kalkulus
Dari Bilangan Real hingga Teorema Besar Vektor — Fondasi Matematika Lengkap untuk Insinyur
Daftar Isi & Deskripsi Bab
Peta perjalanan materi dari fondasi bilangan real hingga teorema besar kalkulus vektor.
Bilangan Real dan Fungsi
Sistem bilangan real sebagai medan terurut lengkap, aksioma kompletness dan konsekuensinya (supremum, infimum), himpunan bilangan rasional dan irasional, notasi sigma dan pi, jenis-jenis fungsi (polinomial, rasional, eksponensial, logaritma, trigonometri, hiperbolik), operasi fungsi (komposisi, invers), serta grafik dan sifat-sifat dasar fungsi elemen.
Limit dan Keberlanjutan Fungsi
Konsep intuitif dan definisi formal limit fungsi ($\varepsilon$-$\delta$), limit satu sisi, limit tak hingga dan limit di tak hingga, teorema limit aljabar, teorema squeeze, limit fungsi trigonometri khusus, konsep keberlanjutan (definisi $\varepsilon$-$\delta$ dan berdasarkan limit), jenis ketidakberlanjutan, teorema nilai antara dan nilai ekstrem Bolzano-Weierstrass, serta limit tak tentu dan aturan L'Hôpital.
Turunan Fungsi
Definisi turunan sebagai limit fungsi beda, interpretasi geometris (garis singgung) dan fisik (kecepatan sesaat), hubungan keberlanjutan dan terdiferensiasi, aturan dasar (konstanta, pangkat, konstanta kali, penjumlahan/pengurangan), aturan perkalian (product rule), aturan pembagian (quotient rule), aturan rantai (chain rule), turunan implisit, turunan orde tinggi, turunan fungsi invers, serta turunan fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponensial, logaritma, dan hiperbolik.
Penerapan Turunan
Turunan sebagai laju perubahan (kinematika, termodinamika), nilai maksimum dan minimum (lokal, global, absolut), uji turunan pertama dan kedua, titik belok dan kecekungan, Teorema Mean Value (MVT) dan konsekuensinya, aturan L'Hôpital lanjutan, analisis grafik fungsi lengkap (domain, asimtot, monoton, kecekungan, sketsa), serta optimasi dalam konteks teknik (masalah maksimum-minimum terapan).
Integral Tak Tentu (Antiturunan)
Konsep antiturunan dan hubungannya dengan turunan, notasi integral $\int f(x)\,dx$, sifat-sifat dasar integral tak tentu, tabel integral dasar (pangkat, trigonometri, invers trigonometri, eksponensial, logaritma, hiperbolik), integral dari fungsi komposit sederhana, serta konsep persamaan diferensial orde pertama dasar dan penyelesaian melalui integrasi langsung.
Integral Tentu
Motivasi geometris (luas di bawah kurva), penjumlahan Riemann atas partisi sembarang, definisi formal integral Riemann, sifat-sifat integral tentu (linearitas, additivitas interval, monoton, ketidaksamaan), Teorema Dasar Kalkulus bagian I (integral sebagai fungsi dari batas atas) dan bagian II (evaluasi melalui antiturunan), fungsi $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ dan sifat turunannya, serta perhitungan luas bertanda dan luas total.
Teknik Integrasi
Substitusi sederhana ($u$-substitution) dan substitusi trigonometri, integrasi parsial (integral by parts) dengan strategi pemilihan $u$ dan $dv$, integrasi pecahan parsial (dekomposisi partial fractions) untuk empat kasus penyebut, integral fungsi trigonometri (kekuatan ganjil/genap, produk sin-cos), substitusi Weierstrass ($t = \tan\frac{x}{2}$), integral tak wajar (improper integrals) dengan konvergensi dan divergensi, serta tabel integral referensi lengkap.
Penerapan Integral
Luas daerah antara dua kurva, volume benda putar (metode cakram/dinding dan metode kulit silinder), panjang busur kurva, luas permukaan benda putar, kerja dalam fisika (pegas, gaya variabel), tekanan hidrostatis, pusat massa dan momen inersia, serta koordinat polar dan aplikasinya (luas dan panjang busur dalam koordinat polar).
Barisan
Barisan sebagai fungsi dari bilangan asli ke bilangan real, notasi $\{a_n\}$, limit barisan dan definisi formal $\varepsilon$-$N$, barisan terbatas (bounded) dan monoton, teorema barisan monoton terbatas, barisan khusus (aritmetika, geometri, rekursif seperti Fibonacci), serta konsep limit superior dan limit inferior.
Deret Tak Hingga
Deret sebagai jumlah tak hingga melalui limit jumlah parsial $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$, konvergensi dan divergensi, deret geometri $\sum ar^n$ dan penentuannya, deret teleskopik, deret harmonik $\sum 1/n$ dan bukti divergensi, deret-$p$ $\sum 1/n^p$ (konvergen untuk $p > 1$), uji divergensi (uji suku ke-$n$), sifat aljabar deret konvergen, serta penghapusan dan pengelompokan suku.
Uji Konvergensi Deret
Uji perbandingan langsung dan uji perbandingan limit, uji rasio (d'Alembert) untuk deret positif, uji akar (Cauchy), uji integral dan hubungannya dengan deret-$p$, uji Leibniz untuk deret selang-seling, konvergensi mutlak vs konvergensi kondisional, uji konvergensi mutlak melalui uji rasio/akar, serta estimasi sisa dan galat aproksimasi jumlah deret.
Deret Pangkat
Bentuk umum deret pangkat $\sum c_n(x-a)^n$, jari-jari konvergensi $R$ dan rumus $\limsup |c_n|^{1/n}$, interval konvergensi dan pemeriksaan titik ujung, operasi aljabar pada deret pangkat, turunan dan integral deret pangkat (turunkan dan integralkan suku per suku), representasi fungsi sebagai deret pangkat, serta keunikan representasi deret pangkat untuk suatu fungsi.
Deret Taylor dan Maclaurin
Motivasi aproksimasi fungsi oleh polinomial, polinomial Taylor $T_n(x)$ dan deret Taylor sebagai limit $n \to \infty$, koefisien $c_n = f^{(n)}(a)/n!$, deret Maclaurin (kasus $a=0$), tabel deret standar: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$, $\arctan x$, $1/(1-x)$, manipulasi deret (substitusi variabel, diferensiasi, integrasi suku per suku), perkalian dan pembagian deret, serta deret Taylor untuk fungsi komposit.
Sisa Taylor dan Penerapan
Bentuk sisa Lagrange $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$, bentuk sisa integral, estimasi batas galat $|R_n| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, konvergensi deret Taylor ke fungsi asli, linearisasi orde-1 dalam teknik, aproksimasi sudut kecil ($\sin\theta \approx \theta$, $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$), ekspansi binomial $(1+x)^n \approx 1+nx$, evaluasi limit via deret, integrasi fungsi tanpa antiturunan elementer, pengantar solusi deret untuk persamaan diferensial, serta contoh terapan: getaran pendulum kecil, rangkaian RLC, dan analisis galat numerik.
Persamaan Parametrik dan Kurva Bidang
Kurva parametrik dalam bidang, eliminasi parameter, kalkulus dengan kurva parametrik: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, turunan kedua $\frac{d^2y}{dx^2}$, titik singular dan tangen vertikal/horizontal, panjang busur kurva parametrik $L = \int \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\,dt$, luas di bawah kurva parametrik, serta parametrisasi umum kurva dan lintasan partikel dalam fisika.
Koordinat Polar
Sistem koordinat polar $(r, \theta)$, konversi kartesian-polar dan sebaliknya, grafik kurva polar (lingkaran, kardioid, limaçon, ros, lemniskat), simetri dalam koordinat polar, kalkulus dalam koordinat polar: $\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}$, luas daerah $A = \frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$, panjang busur kurva polar, serta luas permukaan benda putar dari kurva polar.
Vektor dan Ruang Tiga Dimensi
Sistem koordinat kartesian tiga dimensi, jarak dan titik tengah, vektor di $\mathbb{R}^3$ (penjumlahan, perkalian skalar, panjang), hasil kali titik (dot product): proyeksi ortogonal, sudut antar vektor, dan ortogonalitas, hasil kali silang (cross product): vektor normal, area paralelogram dan volume paralelepiped, persamaan garis dan bidang di ruang 3D, serta permukaan silinder, kerucut, dan sphere.
Fungsi Vektor dan Kurva di Ruang
Fungsi vektor $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle$, kurva dan lintasan di ruang tiga dimensi, turunan dan integral fungsi vektor, panjang busur kurva 3D, kurvatur $\kappa$ dan jari-jari kelengkungan, vektor normal utama, vektor binormal, dan bingkai Frenet-Serret, komponen akselerasi tangensial dan normal, serta gerak partikel: lintasan proyektil dan gerak melingkar.
Turunan Parsial
Fungsi multivariabel $f(x,y)$ dan $f(x,y,z)$, grafik permukaan dan kurva level, turunan parsial orde pertama dan kedua, teorema Clairaut (kesamaan turunan campuran kontinu), diferensial total dan aproksimasi linear, aturan rantai multivariabel (pohon diagram), turunan parsial implisit, serta turunan arah dan vektor gradien $\nabla f$ sebagai arah kenaikan paling cepat.
Aplikasi Turunan Parsial
Bidang tangen dan garis normal di permukaan $z = f(x,y)$ dan permukaan implisit $F(x,y,z) = 0$, aproksimasi linear menggunakan bidang tangen, titik kritis dan klasifikasinya (maksimum lokal, minimum lokal, titik pelana), uji turunan kedua melalui matriks Hessian, nilai ekstrem mutlak pada himpunan tertutup terbatas, metode pengali Lagrange untuk satu dan dua kendala, serta optimasi terapan dalam konteks teknik.
Integral Ganda
Integral ganda atas persegi panjang dan daerah umum (tipe I: $y$-terbatas, tipe II: $x$-terbatas), pertukaran urutan integrasi, integral ganda dalam koordinat polar dengan Jacobian $r$, aplikasi: luas daerah, volume di bawah permukaan, massa pelat tipis, momen inersia dan pusat massa, densitas permukaan rata-rata, serta integral ganda tak wajar.
Integral Tiga
Integral tiga atas kotak dan daerah umum dalam koordinat kartesian, pertukaran urutan integrasi dalam tiga dimensi, koordinat silinder ($x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$) dengan Jacobian $r$, koordinat bola ($\rho$, $\varphi$, $\theta$) dengan Jacobian $\rho^2 \sin\varphi$, strategi pemilihan sistem koordinat sesuai simetri masalah, serta aplikasi: volume benda 3D, massa benda padat, dan momen inersia tiga dimensi.
Integral Garis dan Medan Vektor
Medan vektor $\mathbf{F}(x,y)$ dan $\mathbf{F}(x,y,z)$, integral garis skalar ($\int f\,ds$) untuk massa kawat, integral garis vektor ($\int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$) untuk kerja gaya dan sirkulasi, medan konservatif dan fungsi potensial skalar, uji kekonservatif ($\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ untuk domain simply connected), Teorema Fundamental untuk integral garis, serta Teorema Green: integral garis tertutup sama dengan integral ganda atas daerah yang dibatasi.
Integral Permukaan dan Teorema Besar
Permukaan parametrik dan vektor normal permukaan, integral permukaan skalar ($\iint f\,dS$) untuk massa permukaan, integral permukaan vektor atau fluks ($\iint \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS$), Teorema Divergensi (Gauss): fluks keluar permukaan tertutup sama dengan integral tiga dari divergensi $\nabla \cdot \mathbf{F}$, Teorema Stokes: integral garis atas tepi permukaan sama dengan integral permukaan dari curl $\nabla \times \mathbf{F}$, hubungan ketiga teorema besar sebagai generalisasi Teorema Dasar Kalkulus, serta penerapan fisika: hukum Gauss, hukum Faraday, dan persamaan kontinuitas fluida.
Gunakan sidebar di sisi kiri untuk menavigasi antar bab. Setiap bab berdiri sendiri sebagai halaman terpisah sehingga memuat lebih cepat. Tombol Cetak PDF di pojok kanan bawah dapat digunakan untuk mengekspor halaman yang sedang aktif ke format PDF melalui fungsi cetak browser. Semua rumus ditampilkan menggunakan MathJax dan akan tercetak dengan benar pada PDF.