Bab 12

Deret Pangkat

Deret pangkat adalah objek sentral yang menjembatani antara teori konvergensi umum dan deret Taylor. Bab ini mendefinisikan deret pangkat secara formal, mengembangkan teknik menentukan jari-jari dan interval konvergensi, menunjukkan bahwa deret pangkat dapat diturunkan dan diintegralkan suku per suku, serta membuktikan bahwa representasi deret pangkat untuk suatu fungsi bersifat unik — fondasi yang membuat deret Taylor di bab berikutnya menjadi mungkin.

Gambar 12.1 — Alur konsep Bab 12: dari definisi deret pangkat hingga keunikan representasi

12.1 Definisi Deret Pangkat

Definisi 12.1 — Deret Pangkat

Sebuah deret pangkat yang berpusat di $a$ adalah deret berbentuk:

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots$$

di mana $a$, $c_0, c_1, c_2, \ldots$ adalah konstanta real dan $x$ adalah variabel. Koefisien $c_n$ disebut koefisien deret pangkat, dan $a$ disebut pusat (center) deret pangkat.

Konvensi Indeks

Kita selalu mulai dari $n = 0$ (bukan $n = 1$) untuk deret pangkat, sehingga suku pertama adalah konstanta $c_0$. Ini memudahkan notasi dan konsisten dengan notasi deret Taylor. Jika deret dimulai dari $n = 1$, cukup definisikan $c_0 = 0$.

Deret Pangkat vs Polinomial

Deret pangkat adalah "polinomial tak hingga" — setiap suku berbentuk konstanta kali $(x-a)$ dipangkatkan, sama seperti polinomial, tetapi jumlah sukunya tak terbatas. Perbedaan mendasar: polinomial selalu konvergen untuk semua $x$, sedangkan deret pangkat hanya konvergen pada interval tertentu (lihat bagian 12.2–12.3).

12.1.1 Contoh Deret Pangkat

Deret Pangkat	Pusat $a$	Koefisien $c_n$	Bentuk Eksplisit
Deret geometri	$0$	$c_n = ar^n$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$
$e^x$ sebagai deret	$0$	$c_n = 1/n!$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
$\sin x$ sebagai deret	$0$	$c_{2k} = 0$,\; $c_{2k+1} = \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!}$	$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}$
$\cos x$ sebagai deret	$0$	$c_{2k} = \dfrac{(-1)^k}{(2k)!}$,\; $c_{2k+1} = 0$	$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}$
Deret logaritma	$1$	$c_0 = 0$,\; $c_n = (-1)^{n+1}/n$ untuk $n \geq 1$	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n$
Deret binomial	$0$	$c_n = \binom{\alpha}{n}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$

Mengapa Deret Pangkat Penting?

Deret pangkat adalah satu-satunya jenis deret yang bisa diturunkan dan diintegralkan suku per suku sambil tetap menjadi deret pangkat. Properti ini sangat penting dalam teknik: kita bisa menurunkan dan mengintegralkan model fisika yang dinyatakan sebagai deret tanpa kehilangan bentuk deret. Selain itu, deret pangkat adalah bentuk umum dari deret Taylor/Maclaurin yang menjadi topik Bab 13.

12.2 Jari-Jari Konvergensi

Pertanyaan paling fundamental tentang deret pangkat: untuk nilai $x$ apa deret tersebut konvergen?

Definisi 12.2 — Jari-Jari Konvergensi

Jari-jari konvergensi $R$ dari $\sum c_n(x-a)^n$ adalah bilangan real sehingga deret konvergen untuk $|x - a| < R$ dan divergen untuk $|x - a| > R$.

Perilaku di titik ujung $x = a \pm R$ harus diperiksa terpisah — jari-jari konvergensi sendiri tidak memberikan informasi tentang titik-titik ini.

Gambar 12.2 — Geometri jari-jari konvergensi: konvergen pasti di dalam, divergen pasti di luar, dan perilaku di ujung (tanda ?) harus diperiksa individual

Teorema 12.1 — Jari-Jari Konvergensi via Uji Rasio

Jika $\rho = \displaystyle\lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$ ada (termasuk $\rho = 0$ atau $\rho = \infty$), maka:

$$R = \frac{1}{\rho}$$

dengan konvensi: $R = 0$ jika $\rho = \infty$, dan $R = \infty$ jika $\rho = 0$.

Teorema 12.2 — Jari-Jari Konvergensi via Uji Akar (Cauchy–Hadamard)

Jika $\alpha = \displaystyle\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}$, maka:

$$R = \frac{1}{\alpha}$$

dengan konvensi yang sama. Formula ini selalu valid — bahkan ketika limit rasio tidak ada.

Rumus Praktis untuk Jari-Jari Konvergensi

Jika limit rasio koefisien ada, maka secara praktis:

$$R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$$

Rumus ini persis kebalikan dari uji rasio yang diterapkan pada deret pangkat (faktor $(x-a)$ saling menghilangkan). Gunakan rumus ini sebagai langkah pertama; gunakan formula Cauchy–Hadamard jika limit rasio tidak ada.

Contoh 12.1 — Menentukan Jari-Jari Konvergensi

(a) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$$R = \lim_{n\to\infty} \frac{1/n!}{1/(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} (n+1) = \infty$$

Deret ini konvergen untuk semua $x \in \mathbb{R}$. (Ini akan menjadi deret Maclaurin untuk $e^x$.)

(b) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!(x-2)^n$

$$R = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$$

Deret hanya konvergen di $x = 2$ (pusatnya sendiri). Ini adalah contoh deret pangkat yang "hanya berfungsi di satu titik".

(c) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 3^n}$

$$R = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n \cdot 3^n)}{1/[(n+1) \cdot 3^{n+1}]} = \lim_{n\to\infty} \frac{3(n+1)}{n} = 3$$

Deret konvergen untuk $|x - 1| < 3$, yaitu $x \in (-2, 4)$. Titik ujung $x = -2$ dan $x = 4$ harus diperiksa terpisah.

(d) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n + n}$

$$R = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(2^n+n)}{1/(2^{n+1}+n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}+n+1}{2^n+n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 + (n+1)/2^n}{1 + n/2^n} = 2$$

(e) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 + (-1)^n}{4^n}\, x^n$

Uji rasio memberikan $\dfrac{c_{n+1}}{c_n} = \dfrac{2+(-1)^{n+1}}{2+(-1)^n} \cdot \dfrac{1}{4}$, yang berosilasi antara $\dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ dan $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$ — limitnya tidak ada. Gunakan uji akar:

$$\sqrt[n]{|c_n|} = \sqrt[n]{\frac{2+(-1)^n}{4^n}} = \frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n}}{4} \to \frac{1}{4} \quad \text{(karena } \sqrt[n]{2+(-1)^n} \to 1 \text{ oleh squeeze)}$$

Maka $R = 1/(1/4) = 4$. Contoh ini menunjukkan keunggulan formula Cauchy–Hadamard atas uji rasio.

12.3 Interval Konvergensi

Definisi 12.3 — Interval Konvergensi

Interval konvergensi adalah himpunan semua $x$ sehingga deret pangkat konvergen. Jika jari-jari konvergensi adalah $R$ ($0 < R < \infty$), maka interval konvergensi adalah salah satu dari:

$(a - R,\; a + R)$ — kedua ujung terbuka
$[a - R,\; a + R]$ — kedua ujung tertutup
$[a - R,\; a + R)$ — ujung kiri tertutup, ujung kanan terbuka
$(a - R,\; a + R]$ — ujung kiri terbuka, ujung kanan tertutup

Kasus khusus: $R = 0$ memberikan interval $\{a\}$; $R = \infty$ memberikan $(-\infty, \infty)$.

Prosedur Menentukan Interval Konvergensi

Langkah 1: Hitung jari-jari konvergensi $R$ (bagian 12.2).

Langkah 2: Tentukan interval terbuka $(a - R,\; a + R)$ — di sini konvergensi dijamin.

Langkah 3: Substitusikan $x = a - R$ ke deret. Periksa konvergensi dengan uji yang sesuai (Leibniz, perbandingan, dll.).

Langkah 4: Substitusikan $x = a + R$ ke deret. Periksa konvergensi secara terpisah.

Langkah 5: Gabungkan hasil — sertakan ujung yang konvergen (dengan tanda kurung siku $[$), exclude ujung yang divergen (dengan tanda kurung biasa $($).

Contoh 12.2 — Menentukan Interval Konvergensi Lengkap

(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 3^n}$

Dari Contoh 12.1(c), $R = 3$. Interval terbuka: $(-2, 4)$. Periksa ujung:

$x = -2$: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ — konvergen (uji Leibniz). ✓
$x = 4$: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ — divergen (deret harmonik). ✗

Interval konvergensi: $[-2,\; 4)$

(b) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{n+1}$

$R = \lim \dfrac{1/(n+1)}{1/(n+2)} = \lim \dfrac{n+2}{n+1} = 1$. Pusat $a = -1$. Interval terbuka: $(-2, 0)$. Periksa ujung:

$x = -2$: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ — konvergen (uji Leibniz). ✓
$x = 0$: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ — divergen (deret harmonik). ✗

Interval konvergensi: $[-2,\; 0)$

(c) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$R = \infty$, jadi interval konvergensi: $(-\infty, \infty)$. Tidak ada ujung yang perlu diperiksa.

(d) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2 + 1}$

$R = \lim \dfrac{1/(n^2+1)}{1/[(n+1)^2+1]} = \lim \dfrac{(n+1)^2+1}{n^2+1} = 1$. Interval terbuka: $(-1, 1)$. Periksa ujung:

$x = 1$: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$ — konvergen (bandingkan dengan $\sum 1/n^2$, $L = 1$). ✓
$x = -1$: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1}$ — konvergen mutlak (karena $\sum 1/(n^2+1)$ konvergen). ✓

Interval konvergensi: $[-1,\; 1]$ (kedua ujung tertutup).

(e) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x-4)^n}{n}$

Tulis ulang: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n(x-2)^n}{n}$. Koefisien efektif: $c_n = 2^n/n$.

$$R = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n/n}{2^{n+1}/(n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$$

Interval terbuka: $(2 - 1/2,\; 2 + 1/2) = (3/2,\; 5/2)$. Periksa ujung:

$x = 3/2$: $(2x-4) = -1$, deret menjadi $\sum (-1)^n/n$ — konvergen (Leibniz). ✓
$x = 5/2$: $(2x-4) = 1$, deret menjadi $\sum 1/n$ — divergen (harmonik). ✗

Interval konvergensi: $[3/2,\; 5/2)$

Catatan: Selalu tulis ulang deret dalam bentuk $\sum c_n(x-a)^n$ sebelum menghitung $R$, agar pusatnya jelas.

12.4 Operasi Aljabar pada Deret Pangkat

Teorema 12.3 — Operasi Aljabar

Jika $\sum c_n(x-a)^n$ dan $\sum d_n(x-a)^n$ masing-masing memiliki jari-jari konvergensi $R_1$ dan $R_2$, maka untuk $|x - a| < \min(R_1, R_2)$:

\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \bigl[c_n(x-a)^n + d_n(x-a)^n\bigr] &= \sum_{n=0}^{\infty} (c_n + d_n)(x-a)^n \\[4pt] \sum_{n=0}^{\infty} k \cdot c_n(x-a)^n &= \sum_{n=0}^{\infty} (k \cdot c_n)(x-a)^n \end{align*}

Perkalian Deret Pangkat (Cauchy Product)

Perkalian $\left(\sum c_n(x-a)^n\right)\left(\sum d_n(x-a)^n\right)$ juga menghasilkan deret pangkat dengan jari-jari konvergensi $\geq \min(R_1, R_2)$, tetapi koefisien hasil kali (konvolusi Cauchy) rumitnya:

$$\left(\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} d_n(x-a)^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n} c_k \, d_{n-k}\right)(x-a)^n$$

Dalam praktik, perkalian deret pangkat jarang dilakukan langsung — biasanya lebih mudah menurunkan produk langsung dari definisi fungsi daripada mengalikan dua deret.

Contoh 12.3 — Operasi Aljabar pada Deret Pangkat

(a) Diketahui $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ dan $\displaystyle e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$, keduanya dengan $R = \infty$. Maka:

$$e^x + e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 + (-1)^n}{n!}\,x^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k)!}\,x^{2k} = 2\cosh x$$

karena suku ganjil ($n = 2k+1$) memberikan $1 + (-1)^{2k+1} = 0$ dan suku genap ($n = 2k$) memberikan $1 + (-1)^{2k} = 2$.

(b) Dengan cara serupa:

$$e^x - e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 - (-1)^n}{n!}\,x^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k+1)!}\,x^{2k+1} = 2\sinh x$$

12.5 Turunan dan Integral Deret Pangkat

Properti paling luar biasa dari deret pangkat: kita bisa mendiferensiasi dan mengintegralkan suku per suku, dan hasilnya tetap deret pangkat yang valid.

Teorema 12.4 — Turunan Suku-per-Suku Deret Pangkat

Jika $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n$ memiliki jari-jari konvergensi $R > 0$, maka $f$ terdiferensiasi pada $(a - R,\; a + R)$ dan:

$$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \, c_n (x - a)^{n-1} = c_1 + 2c_2(x-a) + 3c_3(x-a)^2 + \cdots$$

Jari-jari konvergensi turunan tetap $R$.

Teorema 12.5 — Integral Suku-per-Suku Deret Pangkat

Jika $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n$ memiliki jari-jari konvergensi $R > 0$, maka untuk setiap $x \in (a - R,\; a + R)$:

$$\int_a^x f(t)\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1} = c_0(x-a) + \frac{c_1}{2}(x-a)^2 + \frac{c_2}{3}(x-a)^3 + \cdots$$

Jari-jari konvergensi integral juga tetap $R$.

Jari-Jari Konvergensi Tidak Berubah

Fakta bahwa turunan dan integral suku-per-suku mempertahankan jari-jari konvergensi $R$ yang sama sangat penting. Ini berarti kita bisa menurunkan atau mengintegralkan deret pangkat berkali-kali tanpa khawatir interval konvergensi menyusut. (Perilaku di ujung interval bisa berubah, tetapi di interior interval, semuanya aman.)

Contoh 12.4 — Turunan dan Integral Suku-per-Suku

(a) Dari $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ (yang kita tahu $R = \infty$):

$$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^m}{m!} = f(x)$$

Ini membuktikan bahwa $f'(x) = f(x)$, yaitu $f(x) = Ce^x$. Karena $f(0) = 1$, maka $C = 1$ dan $f(x) = e^x$. Sifat $f' = f$ mengkaraterisasi fungsi eksponensial.

(b) Integral dari deret yang sama:

$$\int_0^x f(t)\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1) \cdot n!} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^m}{m!} = f(x) - 1$$

yang konsisten dengan $\int_0^x e^t\,dt = e^x - 1$. ✓

(c) Dari $\displaystyle \sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}$ (dengan $R = \infty$), turunkan suku-per-suku:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (2k+1)}{(2k+1)!}\,x^{2k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k} = \cos x$$

Turunkan sekali lagi:

$$\frac{d}{dx}\cos x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2k}{(2k)!}\,x^{2k-1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k-1)!}\,x^{2k-1} = -\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^j}{(2j+1)!}\,x^{2j+1} = -\sin x$$

Hubungan $(\sin x)' = \cos x$ dan $(\cos x)' = -\sin x$ terverifikasi sepenuhnya dari deret pangkat. ✓

Penting untuk Teknik

Properti turunan/integral suku-per-suku ini adalah dasar dari metode deret untuk persamaan diferensial (Frobenius method). Saat metode lain gagal — misalnya variasi parameter atau titik singular — metode deret sering berhasil. Dalam teknik, ini muncul dalam: analisis getaran (solusi deret untuk persamaan Bessel), analisis sinyal (filter digital sebagai deret pangkat), dan pemodelan respons sistem linear orde tinggi.

12.6 Keunikan Representasi Deret Pangkat

Teorema 12.6 — Keunikan Koefisien Deret Pangkat

Jika $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n = \sum_{n=0}^{\infty} d_n(x-a)^n$ untuk semua $x$ di suatu interval terbuka yang memuat $a$, maka $c_n = d_n$ untuk setiap $n$.

Mengapa Ini Penting?

Keunikan ini memberikan fondasi yang kokoh untuk deret Taylor: jika kita berhasil menemukan satu cara mengekspresikan $f(x)$ sebagai deret pangkat, maka ekspansi tersebut unik — tidak ada cara "lain" yang valid. Ini juga memungkinkan kita menemukan koefisien deret Taylor dengan menghitung turunan berulang dari $f$ di $x = a$.

Bukti Keunikan (Sketsa)

Misalkan kedua deret sama di interval $(a - \delta, a + \delta)$. Substitusikan $x = a$:

$$c_0 + c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 0 + \cdots = d_0 + d_1 \cdot 0 + d_2 \cdot 0 + \cdots \implies c_0 = d_0$$

Turunkan kedua sisi dan evaluasi di $x = a$:

$$c_1 + 2c_2(x-a) + 3c_3(x-a)^2 + \cdots \bigg|_{x=a} = d_1 + 2d_2(x-a) + 3d_3(x-a)^2 + \cdots \bigg|_{x=a} \implies c_1 = d_1$$

Turunkan lagi dan evaluasi di $x = a$: $2c_2 = 2d_2$, sehingga $c_2 = d_2$. Secara umum, setelah $n$ kali turunan: $n!\,c_n = n!\,d_n$, sehingga $c_n = d_n$. ∎

Contoh 12.5 — Menemukan Koefisien dari Turunan

(a) Jika $f(x) = e^{2x}$ dan kita ingin mengekspresikannya sebagai deret pangkat di sekitar $a = 0$:

$$f(0) = 1,\quad f'(0) = 2,\quad f''(0) = 4,\quad f'''(0) = 8,\quad f^{(4)}(0) = 16, \ldots,\quad f^{(n)}(0) = 2^n$$

Karena $c_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} = \dfrac{2^n}{n!}$:

$$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}\,x^n = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2!} + \frac{8x^3}{3!} + \frac{16x^4}{4!} + \cdots$$

Periksa jari-jari: $R = \lim \dfrac{2^n/n!}{2^{n+1}/(n+1)!} = \lim \dfrac{n+1}{2} = \infty$. Deret valid untuk semua $x$. ✓

(b) Diketahui $\displaystyle \frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ untuk $|x| < 1$. Tentukan $c_n$ tanpa menghitung turunan.

Kita tahu $\dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{1}{1-x} \cdot \dfrac{1}{1+x}$. Dari deret geometri:

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \qquad \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$$

Namun, mengalikan kedua deret secara langsung (Cauchy product) menghasilkan:

$$c_n = \sum_{k=0}^{n} 1 \cdot (-1)^{n-k} = (-1)^n \sum_{k=0}^{n} (-1)^k = (-1)^n \cdot \frac{1 - (-1)^{n+1}}{1 - (-1)} = \frac{(-1)^n + 1}{2}$$

Ini memberikan $c_n = 1$ untuk $n$ genap dan $c_n = 0$ untuk $n$ ganjil, yaitu:

$$\frac{1}{1-x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots$$

Cara lebih mudah: substitusi langsung $u = x^2$ ke dalam $\dfrac{1}{1-u} = \sum u^k$, menghasilkan hasil yang sama. Keunikan menjamin bahwa caranya bagaimanapun, hasilnya sama.

12.7 Menemukan Deret Pangkat dari Fungsi yang Diketahui

Sebelum membahas deret Taylor secara sistematis di Bab 13, kita sudah bisa menemukan beberapa deret pangkat penting dengan memanipulasi deret geometri menggunakan substitusi, turunan, dan integral suku-per-suku.

Contoh 12.6 — Deret Pangkat untuk $\ln(1+x)$

Mulai dari deret geometri (valid untuk $|x| < 1$):

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$$

Substitusi $x \mapsto -x$:

$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \qquad (|x| < 1)$$

Integralkan suku-per-suku dari $0$ sampai $x$:

$$\int_0^x \frac{1}{1+t}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^n\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}\,x^{n+1}$$

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\,x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$

Interval konvergensi asli: $(-1, 1)$. Di $x = 1$: deret menjadi $\sum (-1)^{n-1}/n = \ln 2$ (konvergen, Leibniz). Di $x = -1$: deret menjadi $-\sum 1/n$ (divergen). Jadi interval konvergensi deret $\ln(1+x)$ adalah $(-1, 1]$.

Poin penting: meskipun deret geometri asli hanya valid untuk $|x| < 1$, integral suku-per-suku bisa "memperpanjang" konvergensi ke satu ujung. Ini adalah contoh teorema Abel secara aksioma.

Contoh 12.7 —

Deret Pangkat untuk $\arctan x$

Substitusi $x \mapsto -x^2$ ke dalam deret geometri:

$$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \qquad (|x| < 1)$$

Integralkan suku-per-suku dari $0$ sampai $x$:

$$\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\,x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$

Aplikasi: Substitusikan $x = 1$:

$$\frac{\pi}{4} = \arctan 1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$$

Ini adalah rumus Leibniz untuk $\pi$ — salah satu formula terindah dalam matematika. Konvergensi sangat lambat (perlu $\sim 10^6$ suku untuk 6 digit desimal $\pi$), tetapi secara teoretis elegan.

Contoh 12.8 — Deret Pangkat untuk $\dfrac{1}{(1-x)^2}$

Turunkan deret geometri suku-per-suku:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^n$$

Jadi:

$$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots \qquad (|x| < 1)$$

Turunkan sekali lagi:

$$\frac{2}{(1-x)^3} = \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\,x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)\,x^n$$

Pola umum: dengan menurunkan berulang kali, kita bisa mendapatkan deret pangkat untuk $\dfrac{k!}{(1-x)^{k+1}}$ untuk setiap bilangan bulat $k \geq 0$.

12.8 Perilaku di Batas Interval Konvergensi

Teorema 12.7 — Teorema Abel

Jika $\sum_{n=0}^{\infty} c_n R^n$ konvergen, maka $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ (dengan pusat $a = 0$ dan jari-jari konvergensi $R$) adalah kontinu dari kiri di $x = R$:

$$\lim_{x \to R^-} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n R^n$$

Demikian pula di $x = -R$ jika $\sum c_n(-R)^n$ konvergen.

Implikasi Teorema Abel

Teorema Abel menjelaskan mengapa kita bisa mensubstitusikan $x = 1$ ke dalam deret $\ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots$ untuk mendapatkan $\ln 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - \cdots$. Tanpa teorema Abel, kita hanya tahu deret konvergen di $x = 1$ — tetapi tidak tahu apakah jumlahnya sama dengan $\ln(1+1) = \ln 2$. Teorema Abel menjamin kesetaraan ini.

Contoh 12.9 — Penerapan Teorema Abel

Dari Contoh 12.7, $\displaystyle \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\,x^{2n+1}$ untuk $|x| < 1$. Di $x = 1$, deret menjadi $\sum (-1)^n/(2n+1)$ yang konvergen (Leibniz). Teorema Abel menjamin:

$$\lim_{x \to 1^-} \arctan x = \arctan 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$$

Jadi rumus Leibniz $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - \cdots$ adalah benar secara rigor, bukan hanya formal. ✓

Contoh 12.10 — Katalog Perilaku di Ujung

Berikut empat kemungkinan perilaku di ujung interval konvergensi, ditunjukkan melalui deret $\sum c_n x^n$ dengan $R = 1$:

(a) Kedua ujung konvergen: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^2 + 1}$

$x = 1$: $\sum 1/(n^2+1)$ konvergen (bandingkan dengan $\sum 1/n^2$).
$x = -1$: $\sum (-1)^n/(n^2+1)$ konvergen mutlak.
Interval: $[-1, 1]$

(b) Hanya ujung kiri konvergen: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$x = 1$: $\sum 1/n$ divergen.
$x = -1$: $\sum (-1)^n/n$ konvergen (Leibniz).
Interval: $[-1, 1)$

(c) Hanya ujung kanan konvergen: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n}$

$x = 1$: $\sum (-1)^n/n$ konvergen (Leibniz).
$x = -1$: $\sum 1/n$ divergen.
Interval: $(-1, 1]$

(d) Kedua ujung divergen: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n}}$

$x = 1$: $\sum 1/\sqrt{n}$ divergen ($p = 1/2 \leq 1$).
$x = -1$: $\sum (-1)^n/\sqrt{n}$ konvergen (Leibniz) — tapi periksa mutlak: $\sum 1/\sqrt{n}$ divergen.
Interval: $[-1, 1)$

Catatan: Kasus (d) menunjukkan bahwa meskipun konvergensi di ujung bisa bersifat kondisional, ujung tersebut tetap disertakan dalam interval konvergensi.

12.9 Konteks Teknik: Deret Pangkat dalam Pemodelan Sinyal

Fungsi Transfer dan Deret Pangkat

Dalam rekayasa sinyal, sistem LTI (Linear Time-Invariant) dengan fungsi transfer $H(s)$ memiliki respons impuls $h(t)$ yang bisa diekspresikan sebagai deret pangkat dalam variabel kompleks. Untuk sistem stabil (semua kutub di separuh kiri bidang-$s$), $H(s)$ dapat diekspansikan sebagai deret pangkat yang konvergen untuk $\operatorname{Re}(s) > \sigma_0$ (suatu abscissa of convergence):

$$H(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{h^{(n)}(0^+)}{n!}\, e^{-ns} \quad \text{untuk } \operatorname{Re}(s) > \sigma_0$$

Perspektif deret pangkat membantu memahami mengapa jari-jari konvergensi (atau dalam konteks ini, abscissa of convergence) menentukan stabilitas sistem.

Filter Digital sebagai Deret Pangkat

Filter FIR (Finite Impulse Response) digital memiliki fungsi transfer:

$$H(z) = \sum_{n=0}^{N-1} h_n z^{-n}$$

Ini adalah polinomial dalam variabel $z^{-1}$ — sebuah deret pangkat berhingga. Koefisien $h_n$ adalah respons impuls filter.

Filter IIR (Infinite Impulse Response) digital memiliki fungsi transfer berupa deret pangkat tak hingga:

$$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k}} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{a_0 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}}$$

Jika kita membagi penyebut ke pembilang (long division), hasilnya adalah deret pangkat $\sum h_n z^{-n}$ yang tak hingga. Jari-jari konvergensi deret ini ditentukan oleh kutub terdekat dari asal: jika kutub terdekat berada di $|z| = r_p$, maka deret konvergen untuk $|z^{-1}| < 1/r_p$, yaitu $|z| > r_p$. Untuk stabilitas, kita butuh semua kutub di dalam unit circle ($r_p < 1$), yang menjamin konvergensi untuk $|z| \geq 1$ (termasuk unit circle).

Koneksi langsung: konsep jari-jari konvergensi dari Bab 12 persis menentukan apakah filter IIR stabil atau tidak. Ini bukan kebetuman — deret pangkat dan transformasi-$z$ adalah dua sisi mata uang yang sama.

12.10 Ringkasan

Konsep	Rumus/Kriteria	Catatan
Deret pangkat	$\sum c_n(x-a)^n$	"Polinomial tak hingga" berpusat di $a$
Jari-jari konvergensi	$R = \lim \|c_n/c_{n+1}\|$ atau $R = 1/\limsup\sqrt[n]{\|c_n\|}$	Konvergen untuk $\|x-a\| < R$, divergen untuk $\|x-a\| > R$
Interval konvergensi	Salah satu dari $(a{-}R, a{+}R)$, $[a{-}R, a{+}R]$, dll.	Ujung diperiksa terpisah
Turunan suku-per-suku	$f'(x) = \sum n c_n(x-a)^{n-1}$	$R$ tidak berubah
Integral suku-per-suku	$\int_a^x f(t)\,dt = \sum \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$	$R$ tidak berubah; ujung bisa berubah
Keunikan	$c_n = d_n$ jika kedua deret sama	Fondasi deret Taylor
Teorema Abel	$\lim_{x\to R^-} f(x) = \sum c_n R^n$ jika konvergen	Menjamin validitas substitusi di ujung

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 12

Tentukan jari-jari dan interval konvergensi deret pangkat berikut:
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n^2 + 1}$
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{n!}$
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{3^n + n}$
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n^p (x - \pi)^n$ untuk $p > 0$
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(2n+1)!}(x+1)^{2n+1}$ (petunjuk: faktorkan $(x+1)$ dan substitusi $u = (x+1)^2$)
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{n}\,x^n$
Temukan ekspansi deret pangkat untuk fungsi berikut di sekitar $a = 0$ dengan memanipulasi deret geometri (bukan menghitung turunan):
- $f(x) = \dfrac{1}{1-3x}$
- $f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}$
- $f(x) = \dfrac{1}{(1-x)^3}$ (petunjuk: turunkan dua kali dari deret geometri)
- $f(x) = \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ (petunjuk: gunakan selisih dua deret $\ln(1+x)$ dan $\ln(1-x)$)
Deret pangkat $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2 + 1}{3^n}(x - 1)^n$ memiliki jari-jari konvergensi $R$. Tentukan $R$ dan interval konvergensi lengkap.
Tunjukkan bahwa jika $\sum c_n R^n$ divergen, maka $\sum c_n x^n$ divergen untuk setiap $|x| > R$. (Petunjuk: gunakan uji divergensi — jika $\sum c_n x^n$ konvergen, maka $c_n x^n \to 0$. Gunakan ini untuk mendapatkan kontradiksi.)
Gunakan deret $\arctan x$ dan teorema Abel untuk menunjukkan:
$$\frac{\pi}{2\sqrt{3}} = 1 - \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{4\cdot 5} - \frac{1}{6\cdot 7} + \cdots$$
(Petunjuk: evaluasi $\arctan x$ di $x = 1/\sqrt{3}$, ingat bahwa $\arctan(1/\sqrt{3}) = \pi/6$.)
Dalam konteks filter IIR digital, fungsi transfer $H(z) = \dfrac{1}{1 - 0{,}5\,z^{-1}}$ dapat diekspansikan sebagai deret pangkat dalam $z^{-1}$.
- Tentukan ekspansi deret pangkatnya.
- Tentukan jari-jari konvergensi dalam variabel $z^{-1}$.
- Filter ini stabil atau tidak? Jelaskan koneksi antara jari-jari konvergensi dan stabilitas.
Tunjukkan bahwa turunan suku-per-suku dari $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n$ menghasilkan deret pangkat dengan koefisien $(n+1)c_{n+1}$ dan jari-jari konvergensi yang sama $R$. (Petunjuk: gunakan $\rho' = \lim |(n+2)c_{n+2}/[(n+1)c_{n+1}]|$ dan bandingkan dengan $\rho = \lim |c_{n+1}/c_n|$.)

Sebelumnya

Bab 11: Uji Konvergensi Deret

Selanjutnya

Bab 13: Deret Taylor & Maclaurin