Bab 8

Penerapan Integral

Bab ini merupakan puncak kalkulus integral — kita menerapkan teknik dari Bab 5 dan 7 untuk menyelesaikan masalah geometris dan fisika nyata. Mulai dari luas dan volume, kemudian panjang busur dan luas permukaan, hingga aplikasi teknik langsung seperti perhitungan kerja mekanis, tekanan hidrostatis, pusat massa, momen inersia, serta perhitungan dalam koordinat polar.

Gambar 8.1 — Peta aplikasi integral: dari geometri dasar hingga fisika dan koordinat polar

8.1 Luas Daerah: Irisan Vertikal vs Horizontal

Bab 6 membahas luas antara kurva dan sumbu-$x$. Sekarang kita perlu menguasai irisan horizontal — mengintegralkan terhadap $y$ — yang diperlukan ketika lebih mudah mengekspresikan $x$ sebagai fungsi $y$.

Rumus Luas dengan Irisan Horizontal

Jika $x = f(y)$ ada di sebelah kanan dan $x = g(y)$ di sebelah kiri pada $[c, d]$, maka:

$$A = \int_c^d [f(y) - g(y)]\,dy$$

Contoh 8.1 — Irisan Horizontal

Soal: Luas daerah yang dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = 2x$.

Perpotongan: $x^2 = 2x \implies x(x-2) = 0 \implies x = 0, 2$. Titik: $(0,0)$ dan $(2,4)$.

Karena batas kiri dan kanan diberikan oleh fungsi $x$ dalam $y$, irisan horizontal lebih mudah. Selesaikan untuk $x$: $x = \sqrt{y}$ (kanan) dan $x = y/2$ (kiri).

$$A = \int_0^4 \left(\sqrt{y} - \frac{y}{2}\right)dy = \left[\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^2}{4}\right]_0^4 = \frac{16}{3} - 4 = \boxed{\frac{4}{3}}$$

Contoh 8.2 — Irisan Campuran

Soal: Luas daerah yang dibatasi oleh $y^2 = 2x$ dan $y = x - 4$.

Perpotongan: $x^2 - 8x + 16 = 2x \implies x^2 - 10x + 16 = 0 \implies x = 2, 8$. Titik: $(2, -2)$ dan $(8, 4)$.

Pada $[2, 4]$: parabola di kiri garis. Pada $[4, 8]$: garis di kiri parabola. Irisan di $y = 0$: $x = y + 4$.

$$A = \int_{-2}^{0} \left[(y+4) - \frac{y^2}{2}\right]dy + \int_0^4 \left[\frac{y^2}{2} - (y+4)\right]dy$$

$$= \left[\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}\right]_{-2}^{0} + \left[\frac{y^3}{6} - \frac{y^2}{2} - 4y\right]_{0}^{4}$$

$$= \left(0 - \left(2 - 8 + \frac{8}{6}\right)\right) + \left(\frac{64}{6} - 8 - 16\right) = \frac{14}{3} + \left(-\frac{56}{3}\right) = \boxed{\frac{42}{3} = 14}$$

8.2 Volume Benda Putar: Metode Cakram (Disk/Washer)

Ketika suatu daerah diputar terhadap sumbu, ia membentuk benda tiga dimensi. Metode cakram menghitung volume dengan menjumlahkan luas penampang melingkar tipis yang tegak lurus terhadap sumbu putaran.

Gambar 8.2 — Metode cakram: penampang berbentuk cincin (washer) dengan jari-jari dalam $r(x)$ dan luar $R(x)$ terbentuk dengan rotasi terhadap sumbu-x

Rumus Metode Cakram dan Cincin (Washer)

Jika suatu daerah diputar terhadap sumbu-$x$ dari $x=a$ hingga $x=b$, maka volume benda putarnya adalah:

Metode Cakram (Solid Disk): Jika daerah menempel pada sumbu (jari-jari dalam $r(x) = 0$):

$$V = \pi \int_a^b [R(x)]^2\,dx$$

Metode Cincin (Washer): Jika terdapat rongga di antara kurva dan sumbu (jari-jari dalam $r(x) \neq 0$):

$$V = \pi \int_a^b \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right)\,dx$$

di mana $R(x)$ adalah jari-jari luar (kurva yang lebih jauh dari sumbu) dan $r(x)$ adalah jari-jari dalam (kurva yang lebih dekat ke sumbu). Rumus serupa berlaku untuk putaran terhadap sumbu-$y$ dengan mempertukarkan peran $x$ dan $y$.

Contoh 8.2 — Volume Bola (Metode Cakram)

Soal: Hitung volume bola berjari-jari $R$ dengan memutar setengah lingkaran $x^2 + y^2 = R^2$ (kuadran atas) terhadap sumbu-$x$.

Analisis: Karena setengah lingkaran menempel pada sumbu-$x$, kita menggunakan metode cakram biasa. Kurva atas adalah $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, yang bertindak sebagai jari-jari cakram $R(x)$. Batas integrasi adalah titik potong dengan sumbu-$x$, yaitu $[-R, R]$.

$$V = \pi \int_{-R}^{R} \left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2 dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx$$

$$= \pi \left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right] = \pi\left(\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right)$$

$$\boxed{V_{\text{bola}} = \frac{4}{3}\pi R^3}$$

Catatan: Ingatlah hasil ini dengan baik, karena kita akan menggunakannya secara "terbalik" pada akhir bab ini untuk menemukan pusat massa suatu bentuk geometris tanpa melakukan integrasi langsung!

Contoh 8.3 — Volume dengan Cakram Berongga (Washer)

Soal: Daerah yang dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = 4$ diputar tentang sumbu-$x$. Hitung volume benda putar yang dihasilkan.

Analisis: Perpotongan: $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Pada $[-2, 2]$: garis $y=4$ berada di atas (sebagai jari-jari luar $R(x)=4$), dan parabola $y=x^2$ berada di bawah (sebagai jari-jari dalam $r(x)=x^2$). Terdapat rongga karena daerah tidak menempel pada sumbu-$x$.

Metode Cakram Berongga memotong benda secara tegak lurus sumbu-$x$. Luas penampang cincin didapat dari selisih luas lingkaran luar $\pi R^2$ dan lingkaran dalam $\pi r^2$.

$$V = \pi \int_{-2}^{2} \left(4^2 - (x^2)^2\right)dx = \pi \int_{-2}^{2} (16 - x^4)\,dx = 2\pi\left[16x - \frac{x^5}{5}\right]_0^{2}$$

$$= 2\pi\left(32 - \frac{32}{5}\right) = 2\pi \cdot \frac{128}{5} = \boxed{\frac{256\pi}{5}}$$

8.2.1 Teorema Pappus: Pendekatan Non-Integral

Setelah memahami integrasi penampang, kita sekarang melihat sebuah teorema elegan yang sering memungkinkan kita menghitung volume benda putar tanpa melakukan integral sama sekali, asalkan kita mengetahui luas daerah dan posisi pusat massanya. Lebih menariknya lagi, teorema ini bisa dibuktikan langsung dari rumus metode cakram yang baru saja kita pelajari.

Teorema 8.1 — Teorema Pappus (Teorema Guldinus) untuk Volume

Jika suatu daerah bidang tertutup dengan luas $A$ diputar mengelilingi suatu sumbu eksternal yang terletak pada bidang yang sama dan tidak memotong daerah tersebut, maka volume benda putar yang dihasilkan adalah:

$$V = A \cdot d = A \cdot (2\pi \bar{r})$$

di mana:

$A$ = luas daerah yang diputar
$\bar{r}$ = jarak dari pusat massa (centroid) daerah ke sumbu putaran
$d = 2\pi \bar{r}$ = jarak tempuh lingkaran yang dilalui pusat massa selama satu putaran penuh

Gambar 8.3 — Teorema Pappus: volume benda putar = luas daerah $A$ × jarak tempuh keliling centroid $d = 2\pi\bar{r}$

Bukti Teorema Pappus menggunakan Metode Cakram

Asumsikan kita memutar suatu daerah terhadap sumbu-$x$. Bayangkan kita memotong daerah tersebut dengan garis horizontal tipis setinggi $dy$ pada posisi $y$ dari sumbu. Potongan horizontal ini memiliki panjang $L(y)$ dan luas elemen $dA = L(y)\,dy$.

Jika potongan horizontal ini diputar terhadap sumbu-$x$, ia akan membentuk sebuah cincin tipis (washer) dengan:

Jari-jari luar $= x_{\text{kanan}}(y)$
Jari-jari dalam $= x_{\text{kiri}}(y)$

Volume elemen cincin ini adalah:

$$dV = \pi \big( x_{\text{kanan}}^2 - x_{\text{kiri}}^2 \big)\,dy$$

Faktorkan bentuk selisih kuadrat $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$dV = \pi (x_{\text{kanan}} - x_{\text{kiri}})(x_{\text{kanan}} + x_{\text{kiri}})\,dy$$

Perhatikan bahwa $(x_{\text{kanan}} - x_{\text{kiri}})$ adalah panjang potongan $L(y)$, dan $(x_{\text{kanan}} + x_{\text{kiri}})$ adalah dua kali nilai rata-rata posisi-$x$ dari potongan tersebut, yaitu $2\bar{x}(y)$. Sehingga:

$$dV = \pi \cdot L(y) \cdot 2\bar{x}(y)\,dy = 2\pi \bar{x}(y) \big(L(y)\,dy\big)$$

Karena $L(y)\,dy = dA$, dan saat $dy \to 0$ posisi rata-rata $\bar{x}(y)$ mendekati jarak tepat potongan ke sumbu (yang kita sebut $y$ jika sumbunya horizontal, atau umumnya $r$), maka:

$$dV = 2\pi r \, dA$$

Integrasikan seluruh elemen untuk mendapatkan volume total:

$$V = \int 2\pi r \, dA = 2\pi \int r \, dA$$

Dari definisi pusat massa (centroid), kita tahu bahwa $\displaystyle\bar{r} = \frac{1}{A}\int r \, dA$, yang berarti $\displaystyle\int r \, dA = A\bar{r}$. Substitusikan kembali:

$$\boxed{V = 2\pi \bar{r} A = A \cdot d} \quad \blacksquare$$

Intuisi Fisik Teorema Pappus

Secara kasar, bayangkan daerah itu "berjalan" mengelilingi sumbu. Volume "jejak" yang ditinggalkan sama dengan luas daerah dikali keliling lintasan yang dilalui oleh "titik tengah" (centroid) daerah tersebut. Bukti di atas menunjukkan bahwa ini bukan sekadar intuisi, melainkan konsekuensi langsung dari aljabar pada rumus metode cakram/cincin.

Teorema 8.2 — Teorema Pappus untuk Luas Permukaan

Jika suatu kurva panjang $L$ diputar mengelilingi sumbu eksternal yang tidak memotong kurva tersebut, maka luas permukaan benda putar yang dihasilkan adalah:

$$S = L \cdot (2\pi \bar{r})$$

di mana $\bar{r}$ adalah jarak dari centroid kurva (bukan daerah) ke sumbu putaran. Perhatikan bedanya: Teorema pertama menggunakan luas daerah, teorema kedua menggunakan panjang kurva.

Syarat Kritis Penggunaan Teorema Pappus

Teorema Pappus hanya berlaku jika sumbu putaran tidak memotong daerah (atau kurva) yang diputar. Jika sumbu memotong daerah, maka bagian yang "berada di sisi lain" sumbu akan menghasilkan volume yang saling bertumpang tindih, dan rumus $V = 2\pi\bar{r}A$ tidak lagi berlaku.

Contoh 8.4 — Volume Torus (Donat) via Pappus

Soal: Putarkan lingkaran berjari-jari $r$ yang pusatnya berjarak $R$ dari sumbu-$y$ ($R > r$), terhadap sumbu-$y$.

Penyelesaian: Alih-alih melakukan integral trigonometri yang rumit, kita gunakan Teorema Pappus. Kita hanya perlu dua informasi:

Luas daerah ($A$): Luas lingkaran yang diputar = $\pi r^2$.
Jarak centroid ke sumbu ($\bar{r}$): Pusat massanya lingkaran berada di titik tengah lingkaran itu sendiri, yang berjarak tepat $R$ dari sumbu-$y$. Jadi $\bar{r} = R$.

Terapkan Teorema Pappus:

$$V = A \cdot 2\pi\bar{r} = (\pi r^2)(2\pi R) = \boxed{2\pi^2 R r^2}$$

Bandingkan keeleganan ini dengan metode integral biasa yang mengharuskan kita menghitung $\displaystyle V = \pi \int_0^{\pi} \left[(R + r\cos\theta)^2 - (R - r\cos\theta)^2\right](-r\sin\theta)\,d\theta$. Teorema Pappus mengubah soal kalkulus tingkat lanjut menjadi soal aritmatika dasar!

Contoh 8.5 — Menghitung Pusat Massa Setengah Lingkaran (Penggunaan Terbalik Pappus)

Soal: Tentukan koordinat $y$ dari pusat massanya ($\bar{y}$) setengah lingkaran berjari-jari $R$ di kuadran atas.

Strategi brilian: Kita tidak perlu menghitung integral momen $\displaystyle\int y\,dA$ yang cukup rumit. Sebagai gantinya, kita gunakan hasil volume bola dari Contoh 8.2 secara terbalik!

Teorema Pappus menyatakan $\text{Volume} = \text{Luas A} \times \text{Keliling Lintasan Centroid}$. Melalui manipulasi aljabar terbalik, kita dapat mengekstrak nilai koordinat $\bar{y}$ secara langsung.

Langkah 1 — Hubungkan dengan volume bola: Kita sudah mengetahui dari Contoh 8.2 bahwa memutar setengah lingkaran ini terhadap sumbu-$x$ menghasilkan bola dengan volume:

$$V_{\text{bola}} = \frac{4}{3}\pi R^3$$

Langkah 2 — Identifikasi variabel Pappus: Menurut Teorema Pappus, volume bola ini juga sama dengan:

$$V = A \cdot 2\pi\bar{y}$$

di mana $A$ adalah luas setengah lingkaran ($\frac{1}{2}\pi R^2$), dan $\bar{y}$ adalah jarak pusat massa setengah lingkaran ke sumbu-$x$ (yang ingin kita cari).

Langkah 3 — Samakan dan selesaikan:

$$\frac{4}{3}\pi R^3 = \left(\frac{1}{2}\pi R^2\right) \cdot 2\pi\bar{y}$$

$$\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi^2 R^2 \bar{y}$$

Bagi kedua ruas oleh $\pi^2 R^2$:

$$\bar{y} = \frac{4R}{3\pi}$$

$$\boxed{\bar{y} = \frac{4R}{3\pi} \approx 0.424\,R}$$

Insight Pedagogis: Contoh ini mendemonstrasikan kekuatan sejati hubungan matematika. Kita menggunakan metode cakram untuk menemukan volume benda 3D (bola), lalu menggunakan Teorema Pappus secara terbalik untuk menemukan properti geometris 2D (centroid setengah lingkaran) — sama sekali tanpa mengintegralkan fungsi akar $\sqrt{R^2 - x^2}$ yang merepotkan!

8.3 Volume Benda Putar: Metode Kulit Silinder (Shell)

Metode kulit silinder lebih efisien ketika irisan sejajar dengan sumbu putaran menghasilkan silinder berongga, bukan cakram.

Rumus Volume Metode Kulit Silinder

Putaran terhadap sumbu-$y$ (irisan vertikal setinggi $f(x)$, jari-jari $x$):

$$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\,dx$$

Putaran terhadap sumbu-$x$ (irisan horizontal setinggi $g(y)$, jari-jari $y$):

$$V = 2\pi \int_c^d y \cdot g(y)\,dy$$

Gambar 8.4 — Metode kulit silinder: irisan tipis yang dirotasi terhadap sumbu-y menghasilkan silinder berongga dengan jari-jari $x$ dan tinggi $f(x)$

Contoh 8.6 — Metode Kulit vs Cakram

Soal: Volume yang dihasilkan oleh memutar daerah $y = x^2$, $0 \leq x \leq 2$, terhadap sumbu-$y$.

Kulit Silinder:

$$V = 2\pi \int_0^2 x(x^2)\,dx = 2\pi \int_0^2 x^3\,dx = 2\pi\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi(4) = 8\pi$$

Cakram (sebagai perbandingan): Putaran tentang sumbu-$y$ memerlukan menyelesaikan $x = \sqrt{y}$, $y \in [0, 4]$.

$$V = \pi \int_0^4 \left((2)^2 - (\sqrt{y})^2\right)dy = \pi \int_0^4 (4-y)\,dy = \pi\left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_0^4 = \pi(16-8) = 8\pi \quad \checkmark$$

Kedua metode menghasilkan jawaban sama, tetapi kulit silinder jauh lebih sederhana!

Contoh 8.7 — Kulit Silinder: Putaran tentang Sumbu-$x$

Soal: Putar daerah yang dibatasi oleh $y = 2x - x^2$ dan $y = 0$ terhadap sumbu-$x$.

Akar: $2x - x^2 = 0 \implies x = 0, 2$. Pada $[0, 2]$, parabola berada di atas sumbu-$x$. Putaran tentang sumbu-$x$ → gunakan irisan horizontal.

Dari persamaan: $x = 2 - y \pm \sqrt{4 - y}$. Karena kita berada di sisi kanan parabola: $x = 2 - \sqrt{4-y}$.

$$V = 2\pi \int_0^4 y(2 - \sqrt{4-y})\,dy$$

Substitusi $u = 4-y$, $du = -dy$, batas $y=0 \to u=4$, $y = 4-u$:

$$= 2\pi \int_4^0 (4-u)(\sqrt{u})(-du) = 2\pi \int_0^4 (4-u)\sqrt{u}\,du$$

$$= 2\pi \int_0^4 (4u^{1/2} - u^{3/2})\,du = 2\pi\left[\frac{8}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2}\right]_0^4$$

$$= 2\pi\left(\frac{8}{3}\cdot 8 - \frac{2}{5}\cdot 32\right) = 2\pi\left(\frac{64}{3} - \frac{64}{5}\right) = 2\pi \cdot 64\left(\frac{5 - 3}{15}\right) = \boxed{\frac{256\pi}{15}}$$

8.4 Panjang Busur Kurva

Rumus Panjang Busur

Jika $f'(x)$ kontinu pada $[a, b]$, panjang kurva $y = f(x)$ adalah:

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$$

Dalam notasi diferensial: $ds = \sqrt{1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$. Ini adalah elemen panjang busur infinitesimal.

Contoh 8.8 — Panjang Busur $y = \frac{2}{3}x^{3/2}$ pada $[0, 3]$

$$f'(x) = x^{1/2}, \quad 1 + [f'(x)]^2 = 1 + x$$

$$L = \int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx = \left[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \boxed{\frac{14}{3}}$$

Contoh 8.9 — Panjang Busur Keliling Satuan

$x^2 + y^2 = 1$. Keliling $C = 2\pi r = 2\pi(1) = 2\pi$.

Verifikasi dengan integral: $y = \sqrt{1-x^2}$, $y' = \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$.

$$L = 4\int_0^1 \sqrt{1 + \frac{x^2}{1-x^2}}\,dx = 4\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = 4\left[\arcsin x\right]_0^1 = 4\cdot\frac{\pi}{2} = 2\pi \quad \checkmark$$

(Kita mengintegralkan seperempat lingkaran lalu kalikan 4, memanfaatkan simetri.)

Contoh 8.10 — Panjang Busur Kurva Parametrik

$x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1 - \cos\theta)$ (sikloid), $\theta \in [0, 2\pi]$, $a > 0$.

$$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos\theta), \quad \frac{dy}{d\theta} = a\sin\theta$$

$$ds = \sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2 + a^2\sin^2\theta}\,d\theta = a\sqrt{1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta}\,d\theta = a\sqrt{2 - 2\cos\theta}\,d\theta$$

$$L = a\int_0^{2\pi} \sqrt{2 - 2\cos\theta}\,d\theta$$

Integral ini tidak memiliki antiturunan elemen, tetapi dapat dievaluasi secara numerik. Untuk $a = 1$: $L \approx 7.64$ (panjang satu lengkungan sikloid standar).

8.5 Luas Permukaan Benda Putar

Rumus Luas Permukaan

Permukaan yang dihasilkan oleh memutar $y = f(x) \geq 0$ tentang sumbu-$x$ pada $[a, b]$:

$$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$$

Intuisi: ini menjumlahkan luas "pita" tipis setinggi $ds$ dan lebar $2\pi r = 2\pi f(x)$ di setiap titik.

Contoh 11 — Luas Permukaan Bola

Putar setengah lingkaran $y = \sqrt{R^2-x^2}$ tentang sumbu-$x$.

$$y' = \frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}} \implies 1+(y')^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2-x^2} = \frac{R^2}{R^2-x^2}$$

$$S = 2\pi \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2-x^2}\cdot\sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2}}\,dx = 2\pi \int_{-R}^{R} R\,dx = 2\pi R [x]_{-R}^{R} = 4\pi R^2$$

$$\boxed{S_{\text{bola}} = 4\pi R^2}$$

Contoh 8.12 — Luas Permukaan Kerucut

Soal: Luas permukaan kerucut lingkaran berjari $r$ dan tinggi $h$.

Garis miring kerucut: $y = \dfrac{r}{h}(h - x)$, $y' = -\dfrac{r}{h}$.

$$1 + (y')^2 = 1 + \frac{r^2}{h^2} = \frac{h^2 + r^2}{h^2}$$

$$S = 2\pi \int_0^h \frac{r}{h}(h-x)\sqrt{\frac{h^2+r^2}{h^2}}\,dx = \frac{2\pi r}{h^2}\sqrt{h^2+r^2} \int_0^h (h-x)\,dx$$

$$= \frac{2\pi r}{h^2}\sqrt{h^2+r^2}\left[hx - \frac{x^2}{2}\right]_0^h = \frac{2\pi r}{h^2}\sqrt{h^2+r^2}\left(h^2 - \frac{h^2}{2}\right) = \frac{\pi r \sqrt{h^2+r^2}}{h^2}(h^2) = \pi r\sqrt{h^2+r^2}$$

$$\boxed{S_{\text{kerucut}} = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}}$$

Verifikasi: luas alas $= \pi r^2$, luas selimut miring $= \pi r\sqrt{r^2+h^2}$. Total: $\pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2+h^2} = \pi r(r + \sqrt{r^2+h^2})$. Ini memanggil luas permukaan kerucut terbuka (tanpa alas). Luas permukaan kerucut tertutup = $\pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2+h^2}$.

8.6 Kerja oleh Gaya Variabel

Definisi 8.1 — Kerja

Jika gaya $F(x)$ menggerakkan objek sepanjang sumbu-$x$ dari $x=a$ ke $x=b$, maka kerja yang dilakukan adalah:

$$W = \int_a^b F(x)\,dx$$

Satuan kerja dalam SI adalah Joule (J) = Newton$\cdot$\)meter. Satuan non-SI yang umum: erg (erg = $10^{-7}$ J dalam fisika, kWH dalam teknik listrik.

Contoh 8.13 — Kerja Pegas (Hooke's Law)

Pegas dengan konstanta $k = 200$ N/m dipanjangkan dari panjang alam $0.5$ m menjadi $0.8$ m.

Gaya pegas: $F(x) = kx = 200x$ (di mana $x$ adalah perpindahan dari panjang alam). Batas integrasi: $x_1 = 0.3$ m, $x_2 = 0.6$ m.

$$W = \int_{0.3}^{0.6} 200x\,dx = 100\left[x^2\right]_{0.3}^{0.6} = 100(0.36 - 0.09) = 100(0.27) = \boxed{27 \text{ J}}$$

Contoh 8.14 — Kerja Melawan Gravitasi

Soal: Berapa kerja yang dilakukan gravitasi untuk mengangkat satelit bermassa $m = 500$ kg dari permukaan bumi ke ketinggian $h = 400$ km di atas permukaan?

Gaya gravitasi pada ketinggian $x$: $F(x) = \dfrac{GMm}{(R+x)^2}$ di mana $R = 6.371 \times 10^6$ m, $M = 5.972 \times 10^{24}$ kg.

$$W = \int_0^h \frac{GMm}{(R+x)^2}\,dx = GMm\left[-\frac{1}{R+x}\right]_0^h = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}\right)$$

$$= (5.972 \times 10^{24})(6.371 \times 10^6)^{-1} - (5.972 \times 10^{24})(6.371 \times 10^6 + 4 \times 10^5)^{-1}$$

$$\approx 9.375 \times 10^{18} - 9.371 \times 10^{18} \approx 4 \times 10^{15} \text{ J} \approx 4 \times 10^{15} / 3.6 \times 10^6 \text{ kWh} \approx 1.1 \times 10^9 \text{ kWh}$$

Contoh 8.15 — Kerja Mengisi Tangki (Pompa Air)

Soal: Tangki berbentuk bola jari-jari $3$ m penuh air. Hitung kerja yang diperlukan untuk memompa seluruh air keluar melalui lubang di puncak tangki (ketinggian lubang $5$ m di atas puncak tangki).

Kerja = mengangkat air dari permukaan tangki ke lubang keluar. Jarak lapisan air ke lubang pada kedalaman $x$: $h(x) = (3 - x) + 5 = 8 - x$. Berat lapisan setebal $dx$: $dW = \rho g \pi r^2\, dx$. Di sini $r^2 = 9 - x^2$.

$$W = \int_0^3 \rho g \pi (9-x^2)(8-x)\,dx = (1000)(9.8)\pi \int_0^3 (72 - 9x - 8x^2 + x^3)\,dx$$

$$= 9800\pi \left[72x - \frac{9x^2}{2} - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\right]_0^3 = 9800\pi(216 - 40.5 - 72 + 20.25)$$

$$= 9800\pi(123.75) = \boxed{1.21 \times 10^6 \text{ J}}$$

Dalam satuan praktis: $\approx 336$ kWh.

Contoh 8.16 — Kerja untuk Memindahkan Benda Melawan Gesekan

Soal: Sebuah kotak bermassa $m = 10$ kg di lantai kasar dengan koefisien gesekan $\mu_k = 0.4$. Berapa kerja minimum untuk memindahkannya sejauh $d = 5$ m?

Gaya gesekan: $F_k = \mu_k m g = 0.4 \times 10 \times 9.8 = 39.2$ N (konstan, searah gerakan).

$$W = \int_0^5 39.2\,dx = 39.2(5 - 0) = \boxed{196 \text{ J}}$$

Jika $\mu_s = 0.3$ (gesekan statis), gaya awal $= \mu_s mg = 29.4$ N. Kerja total:

$$W_{\text{total}} = (\mu_s - \mu_k)mg \cdot d = (0.3 - 0.4)(10)(9.8)(5) = -49 \text{ J}$$

Negatif berarti gaya gesekan justru membantu gerakan — kita perlu gaya awal yang lebih besar dari gesekan statis untuk menggerakkan benda.

8.7 Tekanan Hidrostatis

Rumus Gaya Tekanan Hidrostatis

Gaya tekanan pada pelat vertikal tercelup air dari $y = a$ ke $y = b$:

$$F = \int_a^b \rho g \cdot w(y) \cdot y\,dy$$

di mana $w(y)$ adalah lebar pelat pada kedalaman $y$, dan $\rho g y$ adalah tekanan hidrostatis pada kedalaman $y$. Faktor $\rho g y$ menyatakan bahwa tekanan meningkat secara linear dengan kedalaman — inilah hukum Pascal.

Contoh 8.17 — Tekanan pada Bendungan Segitiga

Bendungan segitiga sama kaki dengan alas $6$ m dan tinggi $4$ m. Hitung gaya tekanan total pada bendungan.

Sisi miring: melewati $(3, 0)$ dan $(0, 4)$, persamaan garis: $y = -\dfrac{4}{3}x + 4$, atau $x = 3 - \dfrac{3}{4}y$. Lebar pada kedalaman $y$: $w(y) = 2x = 6 - \dfrac{3}{2}y$.

$$F = \int_0^4 (1000)(9.8)\left(6 - \frac{3}{2}y\right) y\,dy = 9800 \int_0^4 (6y - \frac{3}{2}y^2)\,dy$$

$$= 9800\left[3y^2 - \frac{y^3}{2}\right]_0^4 = 9800(48 - 32) = \boxed{156\,800 \text{ N}}$$

Contoh 8.18 — Tekanan pada Dinding Rektangular

Dinding rektang lebar $w$, tinggi $h$, celup air hingga kedalaman $d$.

Pada setiap titik, lebar $= w$, tekanan $= \rho g y$. Jarak dari permukaan ke kedalaman $y$ adalah $y$. Jadi:

$$F = \int_0^d \rho g \cdot w \cdot y\,dy = \rho g w \int_0^d y\,dy = \rho g w \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^d = \frac{1}{2}\rho g w d^2$$

Catatan penting: Tekanan bukan tergantung pada luas pelat, melainkan pada kuadrat kedalaman. Dinding yang lebih dalam selalu mengalami tekanan lebih besar terlepas ukurannya sama.

8.8 Pusat Massa dan Momen Inersia

Dalam mekanika, mengetahui di mana pusat massa (center of mass) suatu benda sangat penting untuk analisis dinamika dan keseimbangan.

Definisi 8.2 — Pusat Massa (Centroid)

Untuk lamina dengan densitas seragam $\rho$:

$$\bar{x} = \frac{M_y}{M} = \frac{\int_a^b x\,f(x)\,dx}{\int_a^b f(x)\,dx}, \qquad \bar{y} = \frac{M_x}{M} = \frac{\displaystyle\frac{1}{2}\int_a^b [f(x)]^2\,dx}{\int_a^b f(x)\,dx}$$

Definisi 8.3 — Momen Inersia

Momen inersia terhadap sumbu-$y$ dan sumbu-$x$ untuk lamina dengan densitas seragam:

$$I_y = \int_a^b x^2\,dm = \rho\int_a^b x^2 f(x)\,dx, \qquad I_x = \int_a^b y^2\,dm = \frac{\rho}{2}\int_a^b [f(x)]^3\,dx$$

Teorema Persegi

Untuk persegi $a \times b$: $\bar{x} = a/2$, $\bar{y} = b/2$, $I_x = \dfrac{\rho a b^3}{12}$, $I_y = \dfrac{\rho a^3 b}{12}$. Pusat massa segitiga: $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$, $\bar{y} = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$. Momen inersia terhadap sisi miring: $I = \dfrac{M h^2}{18}$.

Contoh 8.19 — Pusat Massa dan Momen Inersia Segitiga

Daerah segitiga siku-siku dengan puncak di $(0,0)$, $(a,0)$, dan $(0,b)$. Massa total $M = \dfrac{\rho a b}{2}$.

Pusat Massa $\bar{x}$:

$$\bar{x} = \frac{\rho \int_0^a x(b - \frac{b}{a}x)\,dx}{\rho ab / 2} = \frac{2}{ab}\int_0^a \left(bx - \frac{b}{a}x^2\right)dx = \frac{2}{ab}\left[\frac{bx^2}{2} - \frac{bx^3}{3a}\right]_0^a = \frac{2}{ab}\left(\frac{ba^2}{2} - \frac{ba^2}{3}\right) = \frac{a}{3}$$

Pusat Massa $\bar{y}$:

$$\bar{y} = \frac{\frac{\rho}{2}\int_0^a \left(b - \frac{b}{a}x\right)^2 dx}{\rho ab / 2} = \frac{1}{ab}\int_0^a \left(b^2 - \frac{2b^2}{a}x + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)dx$$

$$= \frac{1}{ab}\left[b^2 x - \frac{b^2}{a}\cdot\frac{x^2}{2} + \frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x^3}{3}\right]_0^a = \frac{1}{ab}\left(\frac{ab^2}{2} - \frac{b^3}{3} + \frac{b^3}{3a}\right) = \frac{b}{3}$$

Momen Inersia $I_x$:

$$I_x = \frac{\rho}{2}\int_0^a \left(b - \frac{b}{a}x\right)^3 dx = \frac{\rho b^3}{2}\int_0^a \left(1 - \frac{x}{a}\right)^3 dx$$

Substitusi $u = 1 - x/a$, $du = -dx/a$, batas $x=0 \to u=1$, $x = a(1-u)$:

$$= \frac{\rho b^3 a}{2}\int_1^0 u^3\left(-a\,du\right) = \frac{\rho a b^3}{2}\int_0^1 u^3\,du = \frac{\rho a b^3}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{\rho a b^3}{8} = \frac{M b^2}{4}$$

8.9 Koordinat Polar: Luas dan Panjang Busur

Kurva dalam koordinat polar dinyatakan sebagai $r = r(\theta)$. Konversi ke Kartesian: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Koordinat polar seringkali lebih sederhana untuk kurva yang "melingkar" di sekitar titik asal.

Rumus Luas dan Busur dalam Koordinat Polar

Luas yang dilalui kurva polar $r = f(\theta)$ dari $\theta = \alpha$ ke $\theta = \beta$:

$$A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} [r(\theta)]^2\,d\theta$$

Panjang busur kurva polar:

$$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$$

Contoh 8.20 — Luas Lingkaran (Verifikasi)

$r = R$ (konstanta), $\theta \in [0, 2\pi]$.

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} R^2\,d\theta = \frac{R^2}{2}[\theta]_0^{2\pi} = \pi R^2 \quad \checkmark$$

Contoh 8.21 — Luas Kardioid

$r = a(1 - \cos\theta)$, $\theta \in [0, 2\pi]$.

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1 - \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi} (1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta)\,d\theta$$

$$= \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi} \left(1 - 2\cos\theta + \frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta = \frac{a^2}{2}\left[\frac{3\theta}{2} - 2\sin\theta + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{2\pi}$$

Karena $\sin$ dan $\sin 2\theta$ bernilai nol di batas $0$ dan $2\pi$:

$$A = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{6\pi}{2} = \boxed{\frac{3\pi a^2}{2}}$$

Contoh 8.22 — Luas Daerah di Luar Lingkaran

Soal: Hitung luas yang berada di luar lingkaran $r = 2\cos\theta$ tetapi di dalam lingkaran $r = 4\cos\theta$.

Perpotongan: $2\cos\theta = 4\cos\theta \implies \cos\theta = 0 \implies \theta = \pm\pi/2, \pm 3\pi/2$. Pada interval $[0, 2\pi]$: $\theta = \pi/2$ dan $3\pi/2$.

Pada $[0, \pi/2]$: $4\cos\theta \geq 2\cos\theta$, jadi $r = 4\cos\theta$ di luar. Luas = lingkaran dikurangi setengah lingkaran kecil.

Pada $[\pi/2, 3\pi/2]$: $2\cos\theta \leq 4\cos\theta$, jadi $r = 2\cos\theta$ di luar. Luas = setengah lingkaran kecil dikurangi setengah lingkaran besar.

$$A = 2\left[\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} (4\cos\theta)^2\,d\theta - \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (2\cos\theta)^2\,d\theta\right]$$

$$= \int_0^{\pi/2} 8\cos^2\theta\,d\theta - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} 2\cos^2\theta\,d\theta$$

$$= \int_0^{\pi/2} 4\cdot\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (1+\cos 2\theta)\,d\theta$$

$$= 2\int_0^{\pi/2} (1+\cos 2\theta)\,d\theta - \left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{\pi/2}^{3\pi/2} = 2\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_0^{\pi/2} - \left(\frac{3\pi}{2} + 0 - \frac{\sin 3\pi}{2} - 0\right)$$

$$= 2\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - \frac{3\pi}{2} = \pi - \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$$

Negatif karena kita salah memilih mana yang "di luar"! Sekarang perbaiki: pada $[\pi/2, 3\pi/2]$, $\cos\theta \leq 0$, jadi daerah "di luar" adalah di mana $r$ lebih kecil. Integrand seharusnya:

$$A = \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \left[(2\cos\theta)^2 - (4\cos\theta)^2\right]\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-12\cos^2\theta)\,d\theta$$

$$= -6\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (1+\cos 2\theta)\,d\theta = -6\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -6\left(\frac{3\pi}{2} + 0 - 0\right) = 9\pi$$

Luas total (selalu positif):

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (4\cos\theta)^2\,d\theta - \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (2\cos\theta)^2\,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} 12\cos^2\theta\,d\theta = 6\pi \cdot\frac{1}{2}(2\pi) = 6\pi$$

$$\boxed{A = 6\pi}$$

Contoh 8.23 — Panjang Busur Lingkaran (Verifikasi)

$r = R$, $dr/d\theta = 0$.

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{R^2 + 0}\,d\theta = \int_0^{2\pi} R\,d\theta = 2\pi R \quad \checkmark$$

Contoh 8.24 — Panjang Busur Kardioid

$r = a(1 - \cos\theta)$, $dr/d\theta = a\sin\theta$.

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2 + a^2\sin^2\theta}\,d\theta = a\int_0^{2\pi} \sqrt{1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta}\,d\theta$$

$$= a\int_0^{2\pi}\sqrt{2 - 2\cos\theta}\,d\theta$$

Integral ini tidak memiliki antiturunan elemen. Secara numerik untuk $a = 1$: $L \approx 21.02$ (panjang kardioid standar).

Pertanya & Latihan Evaluasi Bab 8

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = 2x + 3$ menggunakan irisan yang paling efisien.
Hitung volume benda putar yang dihasilkan oleh memutar daerah $\{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq \sqrt{x}\}$ tentang (a) sumbu-$x$, (b) sumbu-$y$.
Gunakan metode kulit silinder untuk menghitung volume yang dihasilkan oleh memutar $y = x - x^2$ tentang garis $x = 3$.
Hitung panjang busur kurva $y = \ln(\sec x)$ pada $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$.
Hitung luas permukaan yang dihasilkan oleh memutar $y = \sqrt{x}$, $1 \leq x \leq 4$, tentang sumbu-$x$.
Sebuah pegas memenuhi Hooke's law $F(x) = 400x$ N/m. Berapa kerja yang diperlukan untuk memanjangkannya dari panjang alam $0.5$ m menjadi $0.8$ m? Berapa kerja yang diperlukan untuk memendekankan dari $0.8$ m kembali ke $0.5$ m?
Tangki berbentuk paraboloid $y = x^2$ (dalam satuan meter, $0 \leq x \leq 2$) dipenuhi air hingga penuh. Hitung kerja yang diperlukan untuk memompa seluruh air keluar melalui puncak tangki (ketinggian lubang $5$ m di atas puncak tangki).
Sebuah pelat persegi $2\text{m} \times 2\text{m}$ tercelup vertikal dalam air dengan sisi atas sejajar permukaan air dan sisi bawah pada kedalaman $6$ m. Hitung gaya tekanan total pada pelat.
Tentukan pusat massa daerah yang dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = x$ pada kuadran pertama. Hitung juga $I_x$ dan $I_y$ jika $\rho = 1$.
Hitung luas daerah yang berada di dalam kedua kurva polar $r = 2\cos\theta$ dan $r = 2\sin\theta$. Petunjuk: gambar kedua kurva, identifikasi titik perpotongan, gunakan simetri untuk menyederhanakan perhitungan.

Sebelumnya

Bab 7: Teknik Integrasi

Selesai

Kembali ke Beranda