Bab 22

Integral Tiga

Integral ganda menjumlahkan fungsi di atas daerah dua dimensi. Integral tiga $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ melangkah lebih jauh: menjumlahkan fungsi di atas daerah tiga dimensi (volume padat). Jika $f$ adalah densitas volumetrik, hasilnya adalah massa benda padat. Jika $f = 1$, hasilnya adalah volume. Secara komputasional, integral tiga hanyalah tiga integral bertingkat — tapi tantangan utamanya adalah memilih sistem koordinat yang tepat. Bab ini memperkenalkan dua sistem koordinat baru: koordinat silinder (untuk masalah dengan simetri aksial) dan koordinat bola (untuk masalah dengan simetri sferis). Kunci keberhasilan adalah mengenali kapan masing-masing sistem digunakan dan mengingat faktor Jacobian yang menyertai setiap transformasi.

Gambar 22.1 — Alur Bab 22: dari definisi integral tiga hingga aplikasi fisika dan integral tak wajar

22.1 Dari 2D ke 3D: Motivasi Integral Tiga

Dalam Bab 21, integral ganda $\iint_D f\,dA$ menjumlahkan nilai $f$ di atas daerah datar $D$. Sekarang kita ingin menjumlahkan nilai fungsi $f(x,y,z)$ di atas volume padat $E \subseteq \mathbb{R}^3$. Elemen integrasi berubah dari $dA$ (luas elemen 2D) menjadi $dV$ (volume elemen 3D).

Gambar 22.2 — Integral tiga menjumlahkan $f(x_i,y_j,z_k)\,\Delta V_{ijk}$ atas semua elemen volume kecil dalam $E$

22.2 Definisi Integral Tiga

Definisi 22.1 — Integral Tiga

Biarkan $E \subseteq \mathbb{R}^3$ daerah tertutup terbatas. Partisi $P$ membagi $E$ menjadi $n$ sub-volume $E_1, \ldots, E_n$ dengan volume $\Delta V_1, \ldots, \Delta V_n$. Pilih titik sampel $(x_i^*, y_i^*, z_i^*) \in E_i$.

$$\boxed{\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \lim_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*, y_i^*, z_i^*)\,\Delta V_i} $$

Jika $f(x,y,z) = 1$, maka $\iiint_E dV = \text{Volume}(E)$.

Jika $f(x,y,z) = \delta(x,y,z)$ (densitas volumetrik), maka $\iiint_E \delta\,dV = \text{Massa}(E)$.

22.3 Integral Tiga atas Kotak (Fubini 3D)

Teorema 22.1 — Teorema Fubini untuk Integral Tiga

Jika $f$ kontinu pada kotak $B = [a,b] \times [c,d] \times [e,f]$, maka:

$$\boxed{\iiint_B f\,dV = \int_a^b\!\int_c^d\!\int_e^f f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx} $$

Ada $3! = 6$ urutan integrasi yang mungkin, semuanya memberikan hasil yang sama.

Contoh 22.1 — Integral Tiga atas Kotak (Fungsi Produk)

$\iiint_B xyz\,dV$ dengan $B = [0,2] \times [0,1] \times [0,3]$:

$$\int_0^2\!\int_0^1\!\int_0^3 xyz\,dz\,dy\,dx = \int_0^2\!\int_0^1 xy\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^3\,dy\,dx = \int_0^2\!\int_0^1 \frac{9}{2}xy\,dy\,dx $$

$$= \frac{9}{2}\int_0^2 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1\,dx = \frac{9}{4}\int_0^2 x\,dx = \frac{9}{4}\cdot 2 = \frac{9}{2} \quad \checkmark $$

Catatan: karena $f = xyz$ = produk fungsi satu variabel, hasilnya = $\left(\int_0^2 x\,dx\right)\!\left(\int_0^1 y\,dy\right)\!\left(\int_0^3 z\,dz\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$. ✓

Contoh 22.2 — Fungsi Non-Sekarang atas Kotak

$\iiint_B (x + yz)\,dV$ dengan $B = [0,1] \times [0,2] \times [0,3]$.

Ini bukan fungsi produk — kita tidak bisa memisahkan. Hitung langsung:

$$\int_0^1\!\int_0^2\!\int_0^3 (x + yz)\,dz\,dy\,dx = \int_0^1\!\int_0^2\left[xz + \frac{yz^2}{2}\right]_0^3\,dy\,dx $$

$$= \int_0^1\!\int_0^2\left(3x + \frac{9y}{2}\right)dy\,dx = \int_0^1\left[3xy + \frac{9y^2}{4}\right]_0^2\,dx = \int_0^1(6x + 9)\,dx $$

$$= \left[3x^2 + 9x\right]_0^1 = 3 + 9 = 12 \quad \checkmark $$

Verifikasi dengan linearitas:

$$\iiint_B x\,dV + \iiint_B yz\,dV = \left(\int_0^1 x\,dx\right)\!\left(\int_0^2 dy\right)\!\left(\int_0^3 dz\right) + \left(\int_0^1 dx\right)\!\left(\int_0^2 y\,dy\right)\!\left(\int_0^3 z\,dz\right) $$

$$= \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3 + 1\cdot 2\cdot \frac{9}{2} = 3 + 9 = 12 \quad \checkmark $$

Sifat linearitas memungkinkan kita memecah integral menjadi bagian-bagian yang masing-masing bisa dipisahkan — trik berguna untuk fungsi campuran. ✓

22.4 Integral Tiga atas Daerah Umum

Sebagian besar masalah nyata melibatkan daerah yang bukan kotak. Analog dengan Tipe I/II untuk integral ganda, di sini kita punya konsep "proyeksi dan batas atas-bawah."

Definisi 22.2 — Tiga Tipe Daerah Umum

Tipe Z: $z$ diintegrasi pertama, proyeksi ke bidang $xy$:

$$E = \{(x,y,z) : (x,y) \in D_{xy},\; g_1(x,y) \leq z \leq g_2(x,y)\} $$

$$\iiint_E f\,dV = \iint_{D_{xy}}\!\left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f\,dz\right]dA $$

Tipe Y: $y$ diintegrasi pertama, proyeksi ke bidang $xz$:

$$\iiint_E f\,dV = \iint_{D_{xz}}\!\left[\int_{h_1(x,z)}^{h_2(x,z)} f\,dy\right]dA $$

Tipe X: $x$ diintegrasi pertama, proyeksi ke bidang $yz$:

$$\iiint_E f\,dV = \iint_{D_{yz}}\!\left[\int_{k_1(y,z)}^{k_2(y,z)} f\,dx\right]dA $$

Kapan Menggunakan Tipe Z, Y, atau X?

Tipe Z: batas atas/bawah $z$ dinyatakan mudah dalam $x,y$ (misalnya $z = x^2+y^2$). Paling sering digunakan.
Tipe Y: batas kiri/kanan $y$ dinyatakan mudah dalam $x,z$ (misalnya daerah simetris terhadap sumbu-$z$ yang dipotong miring).
Tipe X: batas depan/belakang $x$ dinyatakan mudah dalam $y,z$. Jarang digunakan tapi kadang menyederhanakan masalah.

Total ada $3! = 6$ permutasi urutan $(dx, dy, dz)$, masing-masing dengan proyeksi dan batas yang berbeda.

Contoh 22.3 — Volume Tetrahedron (Tipe Z)

Volume tetrahedron dibatasi oleh bidang $x + y + z = 1$ dan ketiga bidang koordinat.

Batas: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1 - x$, $0 \leq z \leq 1 - x - y$.

$$V = \int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{1-x-y} dz\,dy\,dx = \int_0^1\!\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx $$

$$= \int_0^1\left[(1-x)y - \frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x}\,dx = \int_0^1\frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \quad \checkmark $$

Ini sesuai dengan rumus volume tetrahedron $V = \frac{1}{3}\cdot\text{luas alas}\cdot\text{tinggi} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{6}$. ✓

Permukaan: $x + y + z = 1$

Alas: Segitiga $D$ di lantai $z=0$

Batas Alas: $y = 1 - x$

Gambar 22.3 — bidang $x + y + z = 1$ dan ketiga bidang koordinat

Contoh 22.4 — Tipe Y: Proyeksi ke Bidang $xz$

Hitung $\iiint_E y\,dV$ dengan $E$ dibatasi $y = 0$, $y = x + z$, $x = 0$, $z = 0$, dan $x + z = 1$.

Mengapa Tipe Y? Batas $y$ sangat sederhana: $0 \leq y \leq x + z$. Proyeksi ke bidang $xz$: segitiga $x \geq 0$, $z \geq 0$, $x + z \leq 1$.

$$\iiint_E y\,dV = \int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{x+z} y\,dy\,dz\,dx $$

Integral dalam:

$$\int_0^{x+z} y\,dy = \frac{(x+z)^2}{2} $$

$$= \frac{1}{2}\int_0^1\!\int_0^{1-x}(x+z)^2\,dz\,dx = \frac{1}{2}\int_0^1\left[\frac{(x+z)^3}{3}\right]_0^{1-x}\,dx $$

$$= \frac{1}{6}\int_0^1(1 - x^3)\,dx = \frac{1}{6}\left[1 - \frac{1}{4}\right] = \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{4} = \frac{1}{8} \quad \checkmark $$

Mengapa Tipe Z lebih sulit di sini? Jika pakai Tipe Z, kita perlu proyeksi ke bidang $xy$. Batas $z$ dari $0$ sampai $\min(1-x-y, y-x)$, dan daerah proyeksi harus dipecah menjadi dua bagian (mana yang lebih kecil: $1-x-y$ atau $y-x$?). Tipe Y menghindari pemecahan ini sepenuhnya. ✓

Contoh 22.5 — Integral dengan Fungsi di Dalam (Tipe Z + Polar)

$\iiint_E z\,dV$ dengan $E$ dibatasi $z = 0$, $z = x + y$, dan $x^2 + y^2 = 1$ (silinder).

Proyeksi ke $xy$: lingkaran $x^2 + y^2 \leq 1$. Batas $z$: $0 \leq z \leq x + y$. Gunakan polar: $x + y = r(\cos\theta + \sin\theta)$.

$$\int_0^{2\pi}\!\int_0^1\!\int_0^{r(\cos\theta+\sin\theta)} z\,r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^1 \frac{r^2(\cos\theta+\sin\theta)^2}{2}\,dr\,d\theta $$

$$= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta)^2\,d\theta\cdot\int_0^1 r^2\,dr = \frac{1}{6}\int_0^{2\pi}(1 + \sin 2\theta)\,d\theta = \frac{1}{6}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{3} \quad \checkmark $$

Contoh 22.6 — Daerah antara Dua Permukaan

Volume di antara paraboloid $z = x^2 + y^2$ dan $z = 8 - x^2 - y^2$.

Perpotongan: $x^2 + y^2 = 8 - x^2 - y^2 \implies x^2 + y^2 = 4$ (lingkaran $r = 2$). Untuk $(x,y)$ di dalam lingkaran ini, paraboloid pertama di bawah yang kedua.

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_{r^2}^{8-r^2} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r(8 - 2r^2)\,dr\,d\theta $$

$$= \int_0^{2\pi}\left[4r^2 - \frac{r^4}{2}\right]_0^2\,d\theta = \int_0^{2\pi}(16 - 8)\,d\theta = 8\cdot 2\pi = 16\pi \quad \checkmark $$

Bandingkan dengan Bab 21 (Contoh 21.22) yang menghitung volume yang sama — hasilnya identik, membuktikan konsistensi antara integral ganda (tinggi × luas) dan integral tiga. ✓

22.5 Pertukaran Urutan Integrasi dalam 3D

Prinsipnya sama dengan 2D: gambar daerah, identifikasi ulang batas dalam urutan baru, tulis ulang integral. Tapi di 3D, ada 6 kemungkinan urutan, dan menggambar volume 3D di atas kertas lebih sulit.

Strategi Praktis

Tentukan variabel mana yang batasnya konstan (paling mudah diintegrasikan terakhir).
Tentukan variabel mana yang batasnya paling sederhana (diintegrasikan lebih dulu).
Gambar proyeksi daerah ke bidang yang sesuai.
Jika integrand mengandung $e^{x^2}$, $\sin(x^2)$, dll., pastikan variabel tersebut bukan yang diintegrasi terakhir.

Contoh 22.7 — Pertukaran Urutan 3D

Tukar ke urutan $dx\,dy\,dz$: $\int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{x+y} f\,dz\,dy\,dx$.

Analisis daerah asli: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1-x$, $0 \leq z \leq x+y$. Ini adalah prisma di atas segitiga $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y \leq 1$ di bidang $xy$, dengan atap $z = x+y$.

Urutan baru $dz$ terluar: $z$ berkisar dari $0$ sampai $1$. Untuk $z$ tetap, proyeksi ke bidang $xy$: segitiga $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y \geq z$, $x+y \leq 1$. Ini adalah segitiga cincin: $z \leq x+y \leq 1$.

$$\boxed{\int_0^1\!\int_z^1\!\int_{z-y}^{1-y} f\,dx\,dy\,dz} $$

Verifikasi: di $z = 0$, batas menjadi $\int_0^1\!\int_0^{1-y}\!\int_y^{1-y}f\,dx\,dy\,dz$ yang mencakup segitiga penuh. Di $z = 1$, batas menjadi $\int_1^1\ldots = 0$. Konsisten. ✓

Contoh 22.8 — Pertukaran Urutan yang Menyederhanakan

Hitung $\int_0^1\!\int_0^1\!\int_0^y e^{y^2}\,dz\,dy\,dx$.

Masalah: $\int e^{y^2}\,dy$ tidak elementer — tapi perhatikan bahwa integrand tidak bergantung pada $z$ maupun $x$. Integral dalam terhadap $z$ menghasilkan faktor $y$, dan integral terhadap $x$ menghasilkan faktor $1$.

$$\int_0^1\!\int_0^1\!\int_0^y e^{y^2}\,dz\,dy\,dx = \int_0^1\!\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy\,dx = \int_0^1\left[\frac{e^{y^2}}{2}\right]_0^1\,dx = \int_0^1\frac{e-1}{2}\,dx = \frac{e-1}{2} \quad \checkmark $$

Meskipun tidak perlu pertukaran urutan di sini, contoh ini menunjukkan pentingnya memeriksa dependensi variabel: jika $f$ tidak bergantung pada variabel tertentu, integral terhadap variabel itu menjadi sangat sederhana. ✓

22.6 Koordinat Silinder

Koordinat silinder menggabungkan koordinat polar di bidang $xy$ dengan koordinat $z$ kartesian. Ini ideal untuk masalah dengan simetri terhadap sumbu-$z$ (silinder, kerucut, bola yang dipotong sejajar sumbu).

Definisi 22.3 — Koordinat Silinder

$$\boxed{x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad z = z}$$

dengan $r \geq 0$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $-\infty < z < \infty$.

Jacobian:

$$\boxed{dV = r\,dr\,d\theta\,dz}$$

Faktor $r$ sama seperti pada koordinat polar 2D — ia muncul dari elemen luas $r\,dr\,d\theta$ di bidang $xy$, dikalikan $dz$ untuk elemen volume.

Gambar 22.4 — Elemen volume dalam koordinat silinder: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$

Teorema 22.2 — Integral Tiga dalam Koordinat Silinder

$$\boxed{\iiint_E f\,dV = \int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\!\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r\cos\theta,\, r\sin\theta,\, z)\;r\,dz\,dr\,d\theta} $$

Urutan $dz\,dr\,d\theta$ adalah yang paling umum, tapi urutan lain juga mungkin tergantung batas daerah.

Contoh 22.9 — Volume Silinder

Volume silinder $x^2 + y^2 \leq a^2$, $0 \leq z \leq h$:

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^a\!\int_0^h r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^a hr\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{ha^2}{2}\,d\theta = \pi a^2 h \quad \checkmark $$

Verifikasi bahwa rumus koordinat silinder menghasilkan rumus volume silinder klasik. ✓

Contoh 22.10 — Massa Silinder dengan Densitas Variabel

Silinder $x^2 + y^2 \leq 4$, $0 \leq z \leq 3$ dengan $\delta(x,y,z) = z\sqrt{x^2+y^2} = zr$.

$$M = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_0^3 (zr)\,r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_0^3 zr^2\,dz\,dr\,d\theta $$

$$= \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r^2\cdot\frac{9}{2}\,dr\,d\theta = \frac{9}{2}\int_0^{2\pi}\frac{8}{3}\,d\theta = \frac{9}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot 2\pi = 24\pi \quad \checkmark $$

Contoh 22.11 — Volume Kerucut

Volume kerucut $z \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq h$, yaitu $0 \leq r \leq z \leq h$.

Penting: di sini batas $r$ bergantung pada $z$ ($r \leq z$), bukan sebaliknya. Jadi integralkan $r$ di dalam, $z$ di luar:

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^h\!\int_0^z r\,dr\,dz\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^h \frac{z^2}{2}\,dz\,d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{h^3}{6}\,d\theta = \frac{\pi h^3}{3} \quad \checkmark $$

Verifikasi: kerucut ini memiliki jari-jari alas $= h$ dan tinggi $= h$. Rumus volume kerucut: $\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot h = \frac{1}{3}\pi h^2 \cdot h = \frac{\pi h^3}{3}$. Sempurna! ✓

Pelajaran: urutan integrasi dalam koordinat silinder tidak selalu $dz$ pertama. Jika batas $r$ bergantung pada $z$, integrasikan $dr$ dalam dan $dz$ luar. Jika batas $z$ bergantung pada $r$, sebaliknya.

Selubung: $r = z$

Irisan Cakram ($dz$)

Alas Atas: $z = h$

Gambar 22.5 — Elemen volume kerucut

Contoh 22.12 — Volume di Bawah Paraboloid (Silinder)

Volume di bawah $z = 6 - x^2 - y^2 = 6 - r^2$ dan di atas $z = 0$.

Batas silinder: $r = 0$ (tengah) sampai $r$ dimana $z = 0$, yaitu $6 - r^2 = 0 \implies r = \sqrt{6}$.

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt{6}}\!\int_0^{6-r^2} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt{6}} r(6-r^2)\,dr\,d\theta $$

$$= \int_0^{2\pi}\left[3r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{6}}\,d\theta = \int_0^{2\pi}(18 - 9)\,d\theta = 9\cdot 2\pi = 18\pi \quad \checkmark $$

Contoh 22.13 — Daerah antara Kerucut dan Paraboloid

Volume dibatasi kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2} = r$ dan paraboloid $z = 6 - x^2 - y^2 = 6 - r^2$.

Perpotongan: $r = 6 - r^2 \implies r^2 + r - 6 = 0 \implies (r+3)(r-2) = 0$, sehingga $r = 2$ (solusi positif). Untuk $0 \leq r \leq 2$, kerucut di bawah paraboloid.

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_r^{6-r^2} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r(6 - r^2 - r)\,dr\,d\theta $$

$$= \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 (6r - r^3 - r^2)\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\left[3r^2 - \frac{r^4}{4} - \frac{r^3}{3}\right]_0^2\,d\theta $$

$$= \int_0^{2\pi}\left(12 - 4 - \frac{8}{3}\right)d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{16}{3}\,d\theta = \frac{32\pi}{3} \quad \checkmark $$

Contoh ini menunjukkan kombinasi dua permukaan yang keduanya bergantung pada $r$ — koordinat silinder menangani keduanya dengan sangat alami. ✓

Atas: Paraboloid $z = 6 - r^2$

Bawah: Kerucut $z = r$

Irisan Temu ($r = 2, z = 2$)

Gambar 22.6 — Volume dibatasi kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2} = r$ dan paraboloid $z = 6 - x^2 - y^2 = 6 - r^2$.

22.7 Koordinat Bola

Koordinat bola menggunakan tiga parameter: $\rho$ (jarak dari origin), $\varphi$ (sudut dari sumbu-$z$ positif, disebut sudut polar/zenith), dan $\theta$ (sudut azimut dari sumbu-$x$ positif di bidang $xy$).

Definisi 22.4 — Koordinat Bola (Konvensi Kalkulus)

$$\boxed{x = \rho\sin\varphi\cos\theta, \qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad z = \rho\cos\varphi}$$

dengan $\rho \geq 0$, $0 \leq \varphi \leq \pi$ (sudut polar dari $+z$), $0 \leq \theta \leq 2\pi$ (sudut azimut di bidang $xy$).

Jacobian / Elemen Volume:

$$\boxed{dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta} $$

Konversi:

        x = ρ sin φ cos θ

        y = ρ sin φ sin θ

        z = ρ cos φ

Komponen Diferensial:

Tebal Radial = $d\rho$

Tinggi Busur = $\rho\,d\varphi$

Lebar Busur = $\rho\sin\varphi\,d\theta$

Gambar 22.7— Kiri: Letak titik $P(\rho, \varphi, \theta)$ dalam koordinat bola. Kanan: Elemen volume diferensial $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ berbentuk baji sferis.

Permukaan Konstan dalam Koordinat Bola

$\rho = \text{konstan}$: sfera berjari-jari $\rho$ (pusat di origin)
$\varphi = \text{konstan}$: kerucut (setengah sudut puncak $= \varphi$ dari sumbu-$z$). $\varphi = 0$ = kutub utara (+z), $\varphi = \pi/2$ = bidang $xy$, $\varphi = \pi$ = kutub selatan (−z).
$\theta = \text{konstan}$: setengah bidang vertikal yang memuat sumbu-$z$ (seperti irisan jeruk)

Konversi cepat kerucut ke bola: kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$ (setengah sudut puncak $45°$ dari $+z$) $\iff$ $\rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \iff \tan\varphi = 1 \iff \varphi = \pi/4$. Kerucut $z = \sqrt{3(x^2+y^2)}$ $\iff$ $\tan\varphi = 1/\sqrt{3} \iff \varphi = \pi/6$.

Teorema 22.3 — Integral Tiga dalam Koordinat Bola

$$\boxed{\iiint_E f\,dV = \int_0^{2\pi}\!\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\int_{\rho_1(\varphi,\theta)}^{\rho_2(\varphi,\theta)} f(\rho,\varphi,\theta)\;\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta} $$

Urutan tipikal: $d\rho$ paling dalam (karena paling sering batasnya konstan atau sederhana), lalu $d\varphi$, lalu $d\theta$ paling luar.

Contoh 22.14 — Volume Sfera

Volume sfera $x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2$:

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\frac{R^3}{3}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta $$

$$= \frac{R^3}{3}\int_0^{2\pi}[-\cos\varphi]_0^{\pi}\,d\theta = \frac{R^3}{3}\int_0^{2\pi}2\,d\theta = \frac{R^3}{3}\cdot 4\pi = \frac{4}{3}\pi R^3 \quad \checkmark $$

Rumus klasik volume sfera muncul secara alami. Perhatikan bahwa $\int_0^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2$ (bukan nol!) — ini adalah "keajaiban" yang membuat volume sfera finit. ✓

Contoh 22.15 — "Es Krim": Bola di atas Kerucut

Volume di atas kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$ dan di dalam sfera $x^2+y^2+z^2 = 2$.

Kerucut $\implies \varphi = \pi/4$. Sfera $\implies \rho = \sqrt{2}$. Batas: $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq \varphi \leq \pi/4$, $0 \leq \rho \leq \sqrt{2}$.

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/4}\!\int_0^{\sqrt{2}} \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \frac{(\sqrt{2})^3}{3}\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta $$

$$= \frac{2\sqrt{2}}{3}\int_0^{2\pi}[-\cos\varphi]_0^{\pi/4}\,d\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}\int_0^{2\pi}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)d\theta $$

$$= \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}(\sqrt{2}-1) \approx 1.737 \quad \checkmark $$

Verifikasi: volume sfera penuh $= \frac{4\pi(\sqrt{2})^3}{3} = \frac{8\sqrt{2}\pi}{3} \approx 11.84$. Volume kerucut bawah (hemisper bawah + bagian kerucut) $= 11.84 - 1.74 = 10.10$. Ini masuk akal — "es krim" hanya sebagian kecil dari sfera penuh karena sudut kerucut $45°$ cukup lebar. ✓

Contoh 22.16 — Massa Bola dengan Densitas Radial

Bola $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$ dengan densitas $\delta = k\rho^2$ (sebanding kuadrat jarak dari pusat).

$$M = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^a (k\rho^2)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = k\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^a \rho^4\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

$$= k\cdot\frac{a^5}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{4\pi k a^5}{5} \quad \checkmark $$

Densitas radial sangat cocok dengan koordinat bola — $\delta = k\rho^2$ menjadi konstanta dalam $\rho$ setelah Jacobian, membuat integrasi sangat sederhana. ✓

Contoh 22.17 — Densitas Bergantung Sudut

Bola $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$ dengan densitas $\delta = \delta_0\cos^2\varphi$ (lebih padat di kutub utara, kurang padat di kutub selatan).

$$M = \delta_0\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^a \cos^2\varphi\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \delta_0\cdot\frac{a^3}{3}\cdot 2\pi\int_0^{\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi $$

Substitusi $u = \cos\varphi$, $du = -\sin\varphi\,d\varphi$:

$$\int_0^{\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_1^{-1}u^2(-du) = \int_{-1}^{1}u^2\,du = \frac{2}{3} $$

$$M = \delta_0\cdot\frac{a^3}{3}\cdot 2\pi\cdot\frac{2}{3} = \frac{4\pi\delta_0 a^3}{9} \quad \checkmark $$

Bandingkan dengan massa seragam $M_{\text{seragam}} = \delta_0\cdot\frac{4\pi a^3}{3}$. Massa dengan densitas $\cos^2\varphi$ hanya $\frac{1}{3}$ dari massa seragam — karena rata-rata $\cos^2\varphi$ atas sfera $= 1/3$. ✓

Contoh 22.18 — Volume Bola Cincin (Antara Dua Sfera)

Volume di antara sfera $\rho = a$ dan $\rho = b$ ($0 < a < b$):

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_a^b \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \frac{b^3-a^3}{3}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}(b^3 - a^3) \quad \checkmark $$

Sama dengan volume sfera besar dikurangi volume sfera kecil — konsisten dengan sifat additivitas. ✓

Contoh 22.19 — Sfera dengan Batas $\rho$ Bergantung pada $\varphi$

Volume di dalam sfera $\rho = 2\cos\varphi$.

Apa ini? Dalam kartesian: $\rho = 2\cos\varphi \implies \rho^2 = 2\rho\cos\varphi \implies x^2+y^2+z^2 = 2z \implies x^2+y^2+(z-1)^2 = 1$. Ini adalah sfera berjari-jari $1$ berpusat di $(0,0,1)$.

Batas: $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq \varphi \leq \pi/2$ (karena $\rho = 2\cos\varphi \geq 0 \implies \cos\varphi \geq 0$), $0 \leq \rho \leq 2\cos\varphi$.

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\!\int_0^{2\cos\varphi} \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\frac{8\cos^3\varphi}{3}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta $$

Substitusi $u = \cos\varphi$, $du = -\sin\varphi\,d\varphi$:

$$= \frac{8}{3}\int_0^{2\pi}\!\int_1^0 u^3(-du)\,d\theta = \frac{8}{3}\int_0^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta = \frac{8}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3} \quad \checkmark $$

Volume $= \frac{4}{3}\pi(1)^3$ — sesuai dengan sfera berjari-jari $1$! Contoh ini menunjukkan bagaimana sfera yang tidak berpusat di origin memiliki batas $\rho$ yang bergantung pada $\varphi$. ✓

22.8 Jacobian untuk Koordinat Silinder dan Bola

Definisi 22.5 — Matriks Jacobian (3D)

Untuk transformasi $T: (u,v,w) \mapsto (x,y,z)$:

$$\boxed{\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = J = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\[6pt] \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix}} $$

Faktor skala volume: $dV = |\det J|\,du\,dv\,dw$.

Jacobian Koordinat Silinder

Derivasi: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$

Transformasi: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$.

$$J = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Kembangkan sepanjang baris ketiga:

$$\det J = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r $$

Jadi $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$. Sama dengan Jacobian 2D polar dikalikan $1$ (dari $\partial z/\partial z$). $\quad\blacksquare$

Jacobian Koordinat Bola

Derivasi: $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

Transformasi: $x = \rho\sin\varphi\cos\theta$, $y = \rho\sin\varphi\sin\theta$, $z = \rho\cos\varphi$.

$$J = \begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \end{pmatrix} $$

Kembangkan sepanjang baris ketiga:

$$\det J = \cos\varphi\!\left|\begin{matrix}\rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta\end{matrix}\right| - (-\rho\sin\varphi)\!\left|\begin{matrix}\sin\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta\end{matrix}\right| $$

$$= \cos\varphi\cdot\rho^2\cos\varphi\sin\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + \rho\sin\varphi\cdot\rho\sin^2\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta) $$

$$= \rho^2\sin\varphi\cos^2\varphi + \rho^2\sin^3\varphi = \rho^2\sin\varphi(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi) = \boxed{\rho^2\sin\varphi} $$

$\quad\blacksquare$

Pola Mnemonik untuk Jacobian

Kartesian: $dV = 1 \cdot dx\,dy\,dz$
Silinder: $dV = r \cdot dr\,d\theta\,dz$ — satu faktor $r$ dari polar di bidang $xy$
Bola: $dV = \rho^2\sin\varphi \cdot d\rho\,d\varphi\,d\theta$ — $\rho^2$ dari dua koordinat yang memasukkan $\rho$; $\sin\varphi$ dari geometri sudut polar

Untuk sistem non-standar (misalnya elipsoidal), Jacobian harus dihitung dari awal.

Contoh 22.20 — Jacobian Koordinat Elipsoidal

$x = a\rho\sin\varphi\cos\theta$, $y = b\rho\sin\varphi\sin\theta$, $z = c\rho\cos\varphi$, dengan $a,b,c > 0$.

Faktorkan $a$, $b$, $c$ dari baris pertama, kedua, ketiga matriks Jacobian:

$$\det J = abc \cdot \rho^2\sin\varphi \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{dV = abc\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta} $$

Untuk ellipsoid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq 1$: batas $0 \leq \rho \leq 1$, sehingga $V = abc \cdot \frac{4\pi}{3}$. ✓

Teorema 22.4 — Perubahan Variabel Umum untuk Integral Tiga

$$\boxed{\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_{E^*} f(\mathbf{x}(u,v,w))\;\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,du\,dv\,dw} $$

22.9 Strategi Memilih Sistem Koordinat

Sistem	Jacobian	Gunakan ketika...	Contoh bentuk
Kartesian	$dV = dx\,dy\,dz$	Batas berupa bidang sejajar sumbu; tidak ada simetri khusus	Kotak, prisma, tetrahedron
Silinder	$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$	Simetri terhadap sumbu-$z$; batas mengandung $x^2+y^2$	Silinder, kerucut sejajar $z$, paraboloid $z = x^2+y^2$
Bola	$dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$	Simetri sferis; batas mengandung $x^2+y^2+z^2$	Sfera, bola, kerucut dari origin

Kasus Sulit: Silinder vs. Bola

Beberapa masalah bisa dikerjakan dalam kedua sistem. Gunakan silinder ketika satu variabel (biasanya $z$) muncul terpisah dari $x^2+y^2$. Gunakan bola ketika ketiga variabel muncul simetris dalam $x^2+y^2+z^2$.

Ujian cepat: jika batas mengandung $x^2+y^2+z^2 = \text{konstan}$ DAN kerucut $z = c\sqrt{x^2+y^2}$ dari origin $\Rightarrow$ bola. Jika batas mengandung $z = f(x^2+y^2)$ dan $z = \text{konstan}$ $\Rightarrow$ silinder.

Contoh 22.21 — Membandingkan: Kerucut dalam Bola vs. Silinder

Volume di atas kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$ dan di dalam sfera $x^2+y^2+z^2 = 1$.

Dalam bola: $\varphi = \pi/4$, $\rho \leq 1$.

$$V_{\text{bola}} = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/4}\!\int_0^1 \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \frac{1}{3}\cdot 2\pi\cdot\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{3}(2-\sqrt{2}) $$

Dalam silinder: perpotongan kerucut dan sfera: $r^2 + r^2 = 1 \implies r = 1/\sqrt{2}$. Batas $z$: $r \leq z \leq \sqrt{1-r^2}$.

$$V_{\text{sil}} = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{1/\sqrt{2}}\!\int_r^{\sqrt{1-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi\int_0^{1/\sqrt{2}} r(\sqrt{1-r^2}-r)\,dr $$

Substitusi $u = 1-r^2$ untuk suku pertama:

$$= 2\pi\left[-\frac{(1-r^2)^{3/2}}{3} - \frac{r^3}{3}\right]_0^{1/\sqrt{2}} = 2\pi\left(-\frac{(1/2)^{3/2}}{3} - \frac{1}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3}\right) = 2\pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{6\sqrt{2}}\right) $$

$$= 2\pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{3\sqrt{2}}\right) = \frac{2\pi}{3}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{3}(2-\sqrt{2}) \quad \checkmark $$

Hasilnya sama! Tapi koordinat bola jauh lebih sederhana — tiga integral elementer vs. substitusi dalam silinder. Pelajaran: kerucut dari origin + sfera dari origin $\Rightarrow$ gunakan bola. ✓

22.10 Aplikasi: Volume Benda 3D

Contoh 22.22 — Volume Irisan Bola (Spherical Cap)

Volume bagian sfera $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ yang berada di atas bidang $z = h$ ($0 \leq h \leq R$).

Gunakan silinder (karena bidang $z = h$ konstan dalam $\rho$ tapi tidak dalam $\varphi$):

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt{R^2-h^2}}\!\int_h^{\sqrt{R^2-r^2}} r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi\int_0^{\sqrt{R^2-h^2}} r\left(\sqrt{R^2-r^2} - h\right)dr $$

$$= 2\pi\left[\frac{(R^2-r^2)^{3/2}}{3}\cdot(-1) - \frac{hr^2}{2}\right]_0^{\sqrt{R^2-h^2}} = 2\pi\left[\frac{R^3}{3} - \frac{h^3}{3} - \frac{h(R^2-h^2)}{2}\right] $$

$$= \frac{\pi}{3}(2R^3 - 3R^2h + h^3) = \frac{\pi(R-h)^2(2R+h)}{3} \quad \checkmark $$

Untuk $h = 0$: $V = \frac{2\pi R^3}{3}$ (hemisper). Untuk $h = R$: $V = 0$. Konsisten. ✓

22.11 Aplikasi: Massa dan Pusat Massa Benda Padat

Definisi 22.6 — Kuantitas Fisika Benda Padat

Densitas volumetrik $\delta(x,y,z)$. Massa:

$$\boxed{M = \iiint_E \delta\,dV} $$

Momen:

$$M_{yz} = \iiint_E x\,\delta\,dV, \qquad M_{xz} = \iiint_E y\,\delta\,dV, \qquad M_{xy} = \iiint_E z\,\delta\,dV $$

Pusat massa:

$$\boxed{\bar{x} = \frac{M_{yz}}{M}, \qquad \bar{y} = \frac{M_{xz}}{M}, \qquad \bar{z} = \frac{M_{xy}}{M}} $$

Momen inersia terhadap sumbu:

$$I_x = \iiint_E (y^2+z^2)\,\delta\,dV, \qquad I_y = \iiint_E (x^2+z^2)\,\delta\,dV, \qquad I_z = \iiint_E (x^2+y^2)\,\delta\,dV $$

Contoh 22.23 — Pusat Massa Hemisper

Hemisper atas $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$, $z \geq 0$ dengan densitas konstan $\delta$.

Dari simetri: $\bar{x} = \bar{y} = 0$.

$$M = \delta\cdot\frac{2\pi a^3}{3}, \qquad M_{xy} = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\!\int_0^a (\rho\cos\varphi)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

$$= \delta\cdot\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = \delta\cdot\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta = \frac{\delta\pi a^4}{4} $$

$$\bar{z} = \frac{\delta\pi a^4/4}{\delta\cdot 2\pi a^3/3} = \frac{3a}{8} \quad \checkmark $$

Pusat massanya di $z = 3a/8$ — lebih dekat ke ekuator daripada ke kutub, karena lebih banyak massa di daerah ekuator (lingkaran lintang lebih besar di ekuator). ✓

Contoh 22.24 — Momen Inersia Silinder Padat

Silinder $x^2+y^2 \leq R^2$, $0 \leq z \leq h$, densitas konstan $\delta$. $I_z$:

$$I_z = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^R\!\int_0^h r^2 \cdot r\,dz\,dr\,d\theta = \delta h\cdot\frac{R^4}{4}\cdot 2\pi = \frac{\delta\pi h R^4}{2} = \frac{1}{2}MR^2 \quad \checkmark $$

$I_x$ (terhadap sumbu-$x$, melalui pusat alas):

$$I_x = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^R\!\int_0^h (y^2+z^2)\,r\,dz\,dr\,d\theta = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^R\!\int_0^h (r^2\sin^2\theta + z^2)\,r\,dz\,dr\,d\theta $$

Pisahkan menjadi dua integral:

$$= \delta\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\int_0^R r^3\,dr\int_0^h dz + \delta\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^R r\,dr\int_0^h z^2\,dz $$

$$= \delta\cdot\pi\cdot\frac{R^4}{4}\cdot h + \delta\cdot 2\pi\cdot\frac{R^2}{2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{\delta\pi h R^4}{4} + \frac{\delta\pi R^2 h^3}{3} $$

$$= \frac{MR^2}{4} + \frac{Mh^2}{3} \quad \checkmark $$

Rumus ini menunjukkan kontribusi terpisah dari jari-jari ($R^2$) dan tinggi ($h^2$) terhadap momen inersia terhadap sumbu melalui tepi alas. ✓

Contoh 22.25 — Momen Inersia Bola Padat

Bola $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$, densitas konstan $\delta$. $I_z$:

$$I_z = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R (\rho\sin\varphi)^2 \cdot \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R \rho^4\sin^3\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

Gunakan $\sin^3\varphi = \sin\varphi(1-\cos^2\varphi)$, substitusi $u = \cos\varphi$:

$$\int_0^{\pi}\sin^3\varphi\,d\varphi = \int_{-1}^{1}(1-u^2)\,du = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$

$$I_z = \delta\cdot\frac{R^5}{5}\cdot\frac{4}{3}\cdot 2\pi = \frac{8\pi\delta R^5}{15} = \frac{2}{5}MR^2 \quad \checkmark $$

Dari simetri sfera, $I_x = I_y = I_z = \frac{2}{5}MR^2$. ✓

Contoh 22.26 — Pusat Massa dengan Densitas Non-Seragam

Kubus $[0,a]^3$ dengan $\delta(x,y,z) = x + y + z$. Hitung pusat massa.

$$M = \int_0^a\!\int_0^a\!\int_0^a (x+y+z)\,dz\,dy\,dx = \int_0^a\!\int_0^a\left[(x+y)z + \frac{z^2}{2}\right]_0^a\,dy\,dx = \int_0^a\!\int_0^a\left(a(x+y) + \frac{a^2}{2}\right)dy\,dx $$

$$= \int_0^a\left[a\left(xy + \frac{y^2}{2}\right) + \frac{a^2 y}{2}\right]_0^a\,dx = \int_0^a\left(a^2 x + \frac{a^3}{2} + \frac{a^3}{2}\right)dx = \int_0^a(a^2 x + a^3)\,dx = \frac{a^4}{2} + a^4 = \frac{3a^4}{2} $$

$$M_{yz} = \int_0^a\!\int_0^a\!\int_0^a x(x+y+z)\,dz\,dy\,dx = \int_0^a\!\int_0^a\!\int_0^a(x^2 + xy + xz)\,dz\,dy\,dx $$

$$= \int_0^a\!\int_0^a\left(a x^2 + axy + \frac{ax^2}{2}\right)dy\,dx = \int_0^a\left(\frac{3a^2 x^2}{2}\cdot a + \frac{ax^2}{2}\cdot\frac{a^2}{2}\right)dx $$

$$= \int_0^a\left(\frac{3a^3 x^2}{2} + \frac{a^3 x^2}{4}\right)dx = \frac{7a^3}{4}\cdot\frac{a^3}{3} = \frac{7a^6}{12} $$

$$\bar{x} = \frac{7a^6/12}{3a^4/2} = \frac{7a^2}{18} $$

Dari simetri $\delta(x,y,z) = \delta(y,x,z) = \delta(z,y,x)$, pusat massanya simetris: $\bar{x} = \bar{y} = \bar{z} = \frac{7a^2}{18}$.

Untuk $a = 1$: pusat massa di $(\frac{7}{18}, \frac{7}{18}, \frac{7}{18}) \approx (0.389, 0.389, 0.389)$, sedikit bergeser dari $(0.5, 0.5, 0.5)$ ke arah sudut $(1,1,1)$ yang memiliki densitas tertinggi. ✓

22.12 Integral Tiga Tak Wajar

Contoh 22.27 — Integral Gaussian 3D

$\iiint_{\mathbb{R}^3} e^{-(x^2+y^2+z^2)}\,dV$. Koordinat bola, $R \to \infty$:

$$\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^{\infty} e^{-\rho^2}\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

Integrasi per bagian untuk $\int_0^{\infty}\rho^2 e^{-\rho^2}\,d\rho$: $u = \rho$, $dv = \rho e^{-\rho^2}\,d\rho$:

$$= \left[-\frac{\rho}{2}e^{-\rho^2}\right]_0^{\infty} + \frac{1}{2}\int_0^{\infty}e^{-\rho^2}\,d\rho = 0 + \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \frac{\sqrt{\pi}}{4} $$

$$= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \pi^{3/2} $$

Verifikasi: $\pi^{3/2} = (\sqrt{\pi})^3 = \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\right)^3$. Konsisten. ✓

Contoh 22.28 — Potensial Gravitasi Bola (Teorema Shell Newton)

Potensial gravitasi di $(0,0,a)$ akibat bola seragam jari-jari $R$, massa $M$:

$$\Phi(a) = G\delta\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^R \frac{\rho^2\sin\varphi}{\sqrt{\rho^2 + a^2 - 2a\rho\cos\varphi}}\,d\rho\,d\varphi\,d\theta $$

Substitusi $u = \rho^2+a^2-2a\rho\cos\varphi$, $du = 2a\rho\sin\varphi\,d\varphi$ untuk integral $\varphi$:

$$\int_0^{\pi}\frac{\sin\varphi\,d\varphi}{\sqrt{\rho^2+a^2-2a\rho\cos\varphi}} = \frac{1}{a\rho}\left[\sqrt{u}\,\right]_{(\rho-a)^2}^{(\rho+a)^2} = \frac{|\rho+a| - |\rho-a|}{a\rho} $$

Untuk $a > R$ (titik di luar): $\rho \leq R < a$, jadi $|\rho+a| = \rho+a$, $|\rho-a| = a-\rho$:

$$= \frac{2\rho}{a\rho} = \frac{2}{a} $$

$$\Phi = G\delta\cdot 2\pi\cdot\frac{2}{a}\cdot\frac{R^3}{3} = \frac{GM}{a} \quad \checkmark $$

Teorema Shell Newton: bola seragam bertindak seperti partikel titik di pusatnya untuk titik di luar sfera. Hasil ikonik yang dibuktikan melalui integral tiga! ✓

Contoh 22.29 — Konvergensi/Divergensi Integral Tak Wajar 3D

Apakah $\iiint_{\rho \geq 1} \frac{1}{\rho^p}\,dV$ konvergen? (Integrasi atas seluruh ruang di luar sfera satuan.)

$$\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_1^{\infty} \frac{1}{\rho^p}\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot 2\cdot\int_1^{\infty}\rho^{2-p}\,d\rho $$

$\int_1^{\infty}\rho^{2-p}\,d\rho$ konvergen jika $2-p < -1$, yaitu $p > 3$.

$$\boxed{\iiint_{\rho \geq 1}\frac{1}{\rho^p}\,dV \text{ konvergen } \iff p > 3} $$

Pola: di $\mathbb{R}^n$, integral radial $\int^{\infty}\rho^{n-1-p}\,d\rho$ konvergen jika $p > n$. Untuk $n=1$: $p>1$. Untuk $n=2$: $p>2$. Untuk $n=3$: $p>3$. Semakin tinggi dimensi, semakin sulit integral tak wajar konvergen. ✓

22.13 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 22

Kuantitas	Rumus
Fubini 3D (kotak)	$\int_a^b\!\int_c^d\!\int_e^f f\,dz\,dy\,dx$
Tipe Z	$\iint_{D_{xy}}\!\int_{g_1}^{g_2} f\,dz\,dA$
Tipe Y	$\iint_{D_{xz}}\!\int_{h_1}^{h_2} f\,dy\,dA$
Koordinat silinder	$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$
Jacobian silinder	$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
Koordinat bola	$x=\rho\sin\varphi\cos\theta$, $y=\rho\sin\varphi\sin\theta$, $z=\rho\cos\varphi$
Jacobian bola	$dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$
Kerucut $z=\sqrt{x^2+y^2}$ dalam bola	$\varphi = \pi/4$
Sfera $\rho = 2a\cos\varphi$	Sfera jari-jari $a$ pusat $(0,0,a)$
Massa benda padat	$M = \iiint_E \delta\,dV$
Pusat massa	$\bar{x} = M_{yz}/M$, $\bar{y} = M_{xz}/M$, $\bar{z} = M_{xy}/M$
$I_z$ silinder padat	$\frac{1}{2}MR^2$
$I_z$ bola padat	$\frac{2}{5}MR^2$
$\bar{z}$ hemisper	$3a/8$
Konvergensi radial 3D	$\int_{\rho\geq 1}\rho^{-p}\,dV$ konvergen jika $p > 3$

Jembatan ke Bab 23

Bab 21–22 mempelajari integral atas daerah datar (2D) dan padat (3D) — selalu berupa integral "di dalam" suatu daerah. Bab 23 mengubah perspektif: alih-alih mengintegralkan di dalam daerah, kita mengintegralkan sepanjang kurva (integral garis). Ini memunculkan dua jenis: integral garis skalar ($\int f\,ds$, untuk massa kawat) dan integral garis vektor ($\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$, untuk kerja gaya). Yang terakhir adalah pintu gerbang menuju Teorema Green, Teorema Stokes, dan Teorema Divergensi — tiga "teorema besar" yang menghubungkan integral di perbatasan dengan integral di interior.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 22

Hitung $\iiint_E xyz\,dV$ dengan $E$ dibatasi $x=0$, $y=0$, $z=0$, dan $x+y+z=1$.
Hitung $\iiint_E z\,dV$ dengan $E$ dibatasi oleh silinder $x^2+y^2 = 4$ dan bidang $z=0$, $z=y+3$.
Tentukan volume daerah $E$ dibatasi paraboloid $z = x^2+y^2$ dan silinder $x^2+y^2 = 2y$. Petunjuk: $x^2+y^2=2y \iff r = 2\sin\theta$ dalam polar.
Hitung $\iiint_E (x^2+y^2)\,dV$ dengan $E$ = bola $x^2+y^2+z^2 \leq 4$. Gunakan (a) koordinat bola, (b) koordinat silinder. Verifikasi hasilnya sama.
Hitung $\iiint_E z\,dV$ dengan $E$ dibatasi kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$ dan sfera $x^2+y^2+z^2 = 2z$. Petunjuk: sfera $\iff $\rho = 2\cos\varphi$ dalam koordinat bola.
Bola padat $x^2+y^2+z^2 \leq a^2$ memiliki densitas $\delta(x,y,z) = 1 + z^2$. Hitung massanya. Petunjuk: gunakan koordinat bola, ekspresikan $z^2 = \rho^2\cos^2\varphi$.
Hitung $I_x$ (momen inersia terhadap sumbu-$x$ melalui pusat) untuk silinder padat $x^2+y^2 \leq R^2$, $-h/2 \leq z \leq h/2$ dengan densitas konstan. Jawaban akhir harus dalam bentuk $MR^2$ dan $Mh^2$.
Tunjukkan bahwa volume ellipsoid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq 1$ adalah $\frac{4}{3}\pi abc$. Petunjuk: substitusi $u=x/a$, $v=y/b$, $w=z/c$, lalu hitung Jacobian.
Hitung $\iiint_E e^{-x^2-y^2-z^2}\,dV$ dengan $E$ = oktan pertama $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ dari seluruh ruang $\mathbb{R}^3$. Nyatakan jawaban dalam bentuk $\Gamma$-fungsi atau pecahan dari $\pi^{3/2}$.
Sebuah benda padat $E$ dibatasi oleh sfera $x^2+y^2+z^2 = 2az$ (sfera berjari-jari $a$ berpusat di $(0,0,a)$) dan kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$, dengan $z \geq 0$. Tentukan (a) volume $E$, (b) massa jika densitas $\delta = k\rho$. Petunjuk: ubah sfera ke $\rho = 2a\cos\varphi$ dan kerucut ke $\varphi = \pi/4$.
Tantangan: Tentukan $\bar{z}$ (komponen-$z$ pusat massa) untuk benda padat antara kerucut $z = \sqrt{x^2+y^2}$ dan sfera $x^2+y^2+z^2 = a^2$, dengan densitas konstan $\delta$. Petunjuk: gunakan koordinat bola. Jawaban akhir harus dalam bentuk sederhana yang melibatkan $\sqrt{2}$. Bandingkan dengan $\bar{z} = 3a/8$ untuk hemisper penuh — apakah nilainya lebih besar atau lebih kecil, dan mengapa secara intuitif?

Sebelumnya

Bab 21: Integral Ganda

Selanjutnya

Bab 23: Integral Garis & Medan Vektor