Bab 4

Penerapan Turunan

Turunan bukan sekadar operasi matematika abstrak — ia adalah instrumen analisis yang sangat kuat. Bab ini membahas bagaimana turunan digunakan untuk menentukan ekstremum fungsi, menganalisis kecekungan kurva, membuat sketsa grafik secara sistematis, membuktikan ketidaksamaan melalui Teorema Mean Value, dan menyelesaikan masalah optimasi yang muncul secara alami dalam rekayasa.

Gambar 4.1 — Alur konsep Bab 4: dari laju perubahan hingga optimasi teknik

4.1 Turunan sebagai Laju Perubahan

Jika $y = f(x)$, maka $\dfrac{dy}{dx}$ menyatakan laju perubahan $y$ terhadap $x$. Interpretasi ini melampaui kinematika dan berlaku di setiap bidang sains dan teknik.

Contoh 4.1 — Laju Perubahan: Termodinamika

Volume gas ideal dalam tabung tertutup berubah menurut $V(t) = 0.5t^2 - 2t + 10$ liter, $t$ dalam sekon. Tekanan berubah menurut hukum Boyle (suhu konstan): $P = \dfrac{k}{V}$ dengan $k = 100$.

(a) Laju perubahan volume saat $t = 3$:

$$\frac{dV}{dt} = t - 2 \implies \left.\frac{dV}{dt}\right|_{t=3} = 1 \text{ L/s}$$

(b) Laju perubahan tekanan saat $t = 3$:

$$P = \frac{100}{V}, \qquad \frac{dP}{dt} = -\frac{100}{V^2}\frac{dV}{dt}$$

Saat $t = 3$: $V(3) = 0.5(9) - 6 + 10 = 8.5$ L

$$\left.\frac{dP}{dt}\right|_{t=3} = -\frac{100}{72.25} \cdot 1 \approx -1.38 \text{ atm/s}$$

Tekanan turun karena volume naik — konsisten dengan hukum Boyle.

Contoh 4.2 — Laju Perubahan Terkait (Related Rates)

Soal: Sebuah tangki berbentuk kerucut terbalik dengan tinggi $H = 10$ m dan jari-jari atas $R = 5$ m. Air dialirkan masuk dengan laju $3$ m$^3$/menit. Seberapa cepat ketinggian air naik saat tinggi air $h = 4$ m?

Langkah 1: Hubungan geometri. Pada ketinggian $h$, jari-jari permukaan air $r$ memenuhi:

$$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \implies r = \frac{h}{2}$$

Langkah 2: Volume air: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi\!\left(\dfrac{h}{2}\right)^2 h = \dfrac{\pi}{12}h^3$

Langkah 3: Turunkan terhadap $t$:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4}\frac{dh}{dt}$$

Langkah 4: Substitusi $\dfrac{dV}{dt} = 3$ dan $h = 4$:

$$3 = \frac{\pi(16)}{4}\frac{dh}{dt} = 4\pi\frac{dh}{dt}$$

$$\boxed{\frac{dh}{dt} = \frac{3}{4\pi} \approx 0.239 \text{ m/menit}}$$

Contoh 4.3 — Related Rates: Tangga Meluncur

Soal: Tangga sepanjang $10$ m bersandar di dinding. Bagian bawah tangga meluncur menjauhi dinding dengan laju $1.5$ m/s. Seberapa cepat ujung atas turun saat bagian bawah berjarak $6$ m dari dinding?

Langkah 1: Misalkan $x$ = jarak bagian bawah dari dinding, $y$ = tinggi ujung atas. Maka:

$$x^2 + y^2 = 100$$

Langkah 2: Turunkan terhadap $t$:

$$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \implies x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0$$

Langkah 3: Saat $x = 6$: $y = \sqrt{100 - 36} = 8$. Diketahui $\dfrac{dx}{dt} = 1.5$:

$$(6)(1.5) + 8\frac{dy}{dt} = 0 \implies 9 + 8\frac{dy}{dt} = 0$$

$$\boxed{\frac{dy}{dt} = -\frac{9}{8} = -1.125 \text{ m/s}}$$

Tanda negatif: ujung atas turun dengan kecepatan $1.125$ m/s.

4.2 Nilai Maksimum dan Minimum

Definisi 4.1 — Titik Ekstrem Lokal

Fungsi $f$ memiliki maksimum lokal di $c$ jika terdapat $\delta > 0$ sehingga $f(c) \geq f(x)$ untuk semua $x$ di $(c - \delta, c + \delta)$.

Fungsi $f$ memiliki minimum lokal di $c$ jika terdapat $\delta > 0$ sehingga $f(c) \leq f(x)$ untuk semua $x$ di $(c - \delta, c + \delta)$.

Definisi 4.2 — Nilai Maksimum/Minimum Absolut

$f(c)$ adalah maksimum absolut pada himpunan $S$ jika $f(c) \geq f(x)$ untuk semua $x \in S$. Definisi minimum absolut serupa.

Teorema 4.1 — Teorema Fermat (Interior Extremum)

Jika $f$ memiliki maksimum atau minimum lokal di titik interior $c$ dan $f'(c)$ ada, maka:

$$f'(c) = 0$$

Definisi 4.3 — Titik Kritis

Titik $c$ dalam domain $f$ disebut titik kritis jika $f'(c) = 0$ atau $f'(c)$ tidak ada.

Peringatan Penting

Teorema Fermat bersifat searah: $f'(c) = 0$ tidak menjamin bahwa $c$ adalah titik ekstrem. Contoh klasik: $f(x) = x^3$ memiliki $f'(0) = 0$ tetapi $x = 0$ bukan titik ekstrem (titik belok). Titik kritis harus diuji lebih lanjut.

Contoh 4.4 — Menentukan Semua Titik Kritis

$f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 4(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 4(x-1)^3$$

$$f'(x) = 0 \implies (x-1)^3 = 0 \implies x = 1$$

Hanya ada satu titik kritis: $x = 1$. Nilai: $f(1) = 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0$.

Catatan: Karena $f'(x) = 4(x-1)^3$ tidak berubah tanda di $x = 1$ (selalu positif kecuali di $x = 1$), maka $x = 1$ adalah titik belok, bukan ekstrem.

Contoh 4.5 — Titik Kritis dari Fungsi Transendental

$f(x) = x\,e^{-x}$

$$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$$

$$f'(x) = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1$$

($e^{-x}$ selalu positif, jadi tidak pernah nol.) Titik kritis: $x = 1$, $f(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$.

4.3 Uji Turunan Pertama

Teorema 4.2 — Uji Turunan Pertama untuk Ekstrem Lokal

Misalkan $c$ adalah titik kritis $f$ (sehingga $f'(c) = 0$ atau tidak ada) dan $f$ kontinu di sekitar $c$.

Jika $f'$ berubah tanda dari positif ke negatif di $c$, maka $f(c)$ adalah maksimum lokal.
Jika $f'$ berubah tanda dari negatif ke positif di $c$, maka $f(c)$ adalah minimum lokal.
Jika $f'$ tidak berubah tanda di $c$, maka $f(c)$ bukan titik ekstrem lokal.

Gambar 4.2 — Tiga kasus uji turunan pertama: perubahan tanda $f'$ menentukan jenis titik kritis

Contoh 4.6 — Uji Turunan Pertama Lengkap

$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$

Langkah 1: Cari titik kritis:

$$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$$

$$f'(x) = 0 \implies x = 1 \text{ atau } x = 2$$

Langkah 2: Analisis tanda $f'$:

Interval	Uji Titik	Tanda $f'(x)$	$f$ naik/turun
$(-\infty, 1)$	$x = 0$: $f'(0) = 12 > 0$	$+$	Naik
$(1, 2)$	$x = 1.5$: $f'(1.5) = -1.5 < 0$	$-$	Turun
$(2, \infty)$	$x = 3$: $f'(3) = 12 > 0$	$+$	Naik

Langkah 3: Kesimpulan:

$x = 1$: $f'$ berubah $+ \to -$, jadi maksimum lokal. $f(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1$.
$x = 2$: $f'$ berubah $- \to +$, jadi minimum lokal. $f(2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0$.

Contoh 4.7 — Uji Turunan Pertama: Fungsi Rasional

$\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$

$$f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$

Titik kritis: $f'(x) = 0 \implies x = 0$ atau $x = 2$. (Penyebut $\neq 0$ karena $x \neq 1$, yang bukan di domain.)

Penyebut $(x-1)^2 > 0$ selalu, jadi tanda $f'$ = tanda $x(x-2)$:

$(-\infty, 0)$: $(-)(-) = +$ → naik
$(0, 2)$: $(+)(-) = -$ → turun
$(2, \infty)$: $(+)(+) = +$ → naik

Kesimpulan: $x = 0$: maks. lokal, $f(0) = 0$. $x = 2$: min. lokal, $f(2) = 4$.

4.4 Uji Turunan Kedua

Teorema 4.3 — Uji Turunan Kedua

Misalkan $f''(c)$ ada dan $f'(c) = 0$.

Jika $f''(c) > 0$, maka $f(c)$ adalah minimum lokal.
Jika $f''(c) < 0$, maka $f(c)$ adalah maksimum lokal.
Jika $f''(c) = 0$, uji ini tidak memberikan kesimpulan (gunakan uji turunan pertama).

Intuisi Geometris

$f''(c) > 0$ berarti kurva cekung ke atas (seperti mangkuk) di $c$ → minimum. $f''(c) < 0$ berarti kurva cekung ke bawah (seperti kubah) di $c$ → maksimum.

Contoh 4.8 — Uji Turunan Kedua

Kembali ke Contoh 4.6: $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$

$$f''(x) = 12x - 18$$

Di $x = 1$: $f''(1) = 12 - 18 = -6 < 0$ → maksimum lokal ✓

Di $x = 2$: $f''(2) = 24 - 18 = 6 > 0$ → minimum lokal ✓

Hasilnya konsisten dengan uji turunan pertama, tetapi perhitungannya jauh lebih cepat!

Contoh 4.9 — Ketika Uji Turunan Kedua Gagal

$f(x) = x^4$. Maka $f'(x) = 4x^3$, titik kritis $x = 0$. Tetapi $f''(x) = 12x^2$, sehingga $f''(0) = 0$ — uji turunan kedua tidak bisa digunakan.

Gunakan uji turunan pertama: $f'(x) = 4x^3$ berubah dari negatif (untuk $x < 0$) ke positif (untuk $x > 0$), jadi $x = 0$ adalah minimum lokal. Nilai: $f(0) = 0$.

Contoh 4.10 — Uji Turunan Kedua: Fungsi Eksponensial

$f(x) = xe^{2x}$

$$f'(x) = e^{2x} + 2xe^{2x} = e^{2x}(1 + 2x) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$$

$$f''(x) = 2e^{2x}(1+2x) + e^{2x}(2) = e^{2x}(2 + 4x + 2) = e^{2x}(4x + 4) = 4e^{2x}(x+1)$$

$$f''\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = 4e^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{2}{e} > 0 \implies \text{minimum lokal}$$

$$f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\,e^{-1} = -\frac{1}{2e}$$

4.5 Titik Belok dan Kecekungan

Definisi 4.4 — Kecekungan (Concavity)

$f$ cekung ke atas (concave up) pada interval $I$ jika grafik $f$ terletak di atas garis singgungnya di setiap titik di $I$. Ekuivalen: $f''(x) > 0$ untuk semua $x \in I$.

$f$ cekung ke bawah (concave down) pada interval $I$ jika grafik $f$ terletak di bawah garis singgungnya. Ekuivalen: $f''(x) < 0$ untuk semua $x \in I$.

Definisi 4.5 — Titik Belok (Inflection Point)

Titik $(c, f(c))$ pada grafik $f$ disebut titik belok jika kecekungan $f$ berubah di $c$ (dari cekung atas ke bawah atau sebaliknya).

Teorema 4.4 — Syarat Perlu Titik Belok

Jika $(c, f(c))$ adalah titik belok dan $f''(c)$ ada, maka $f''(c) = 0$.

Peringatan

$f''(c) = 0$ tidak cukup untuk menjamin titik belok. Contoh: $f(x) = x^4$ memiliki $f''(0) = 0$ tetapi $f''(x) = 12x^2 \geq 0$ di mana-mana — tidak ada perubahan kecekungan. Harus diverifikasi bahwa $f''$ berubah tanda di $c$.

Contoh 4.11 — Menentukan Titik Belok

$f(x) = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x$

$$f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 24x - 8$$

$$f''(x) = 12x^2 - 36x + 24 = 12(x^2 - 3x + 2) = 12(x-1)(x-2)$$

Kandidat titik belok: $f''(x) = 0 \implies x = 1$ atau $x = 2$.

Analisis tanda $f''$:

$(-\infty, 1)$: $(−)(−) = +$ → cekung atas
$(1, 2)$: $(+)(−) = -$ → cekung bawah
$(2, \infty)$: $(+)(+) = +$ → cekung atas

Kesimpulan: Kedua kandidat adalah titik belok karena $f''$ berubah tanda.

$$\text{Titik belok: } (1, -1) \text{ dan } (2, 0)$$

Contoh 4.12 — Titik Belok Fungsi Transendental

$f(x) = x\,e^{-x^2}$

$$f'(x) = e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$$

$$f''(x) = -2x\,e^{-x^2}(1-2x^2) + e^{-x^2}(-4x) = e^{-x^2}(-2x + 4x^3 - 4x) = e^{-x^2}(4x^3 - 6x) = 2x\,e^{-x^2}(2x^2 - 3)$$

$f''(x) = 0 \implies x = 0$ atau $2x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm\sqrt{3/2} = \pm\sqrt{1.5} \approx \pm 1.225$.

Analisis tanda menunjukkan ketiga kandidat adalah titik belok (verifikasi: $f''$ berubah tanda di setiap titik). Nilai-nilainya:

$$(0, 0), \quad \left(\sqrt{1.5},\; \sqrt{1.5}\cdot e^{-1.5}\right), \quad \left(-\sqrt{1.5},\; -\sqrt{1.5}\cdot e^{-1.5}\right)$$

4.6 Teorema Mean Value (MVT)

Teorema 4.5 — Teorema Mean Value (MVT)

Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan terdiferensiasi pada $(a, b)$, maka terdapat setidaknya satu $c \in (a, b)$ sehingga:

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Gambar 4.3 — Teorema Mean Value: ada setidaknya satu titik $c$ di mana garis singgung sejajar garis potong

Contoh 4.13 — Verifikasi MVT

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ pada $[0, 2]$.

Syarat: polinomial → kontinu di $[0,2]$, terdiferensiasi di $(0,2)$. ✓

$$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{(8-6+1) - (0-0+1)}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$

Cari $c$ sehingga $f'(c) = 1$:

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 1 \implies 3x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$$

Karena $\dfrac{2}{\sqrt{3}} \in (0, 2)$, MVT terverifikasi dengan $c = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$.

4.6.1 Konsekuensi MVT

Korolari 4.1 — Jika $f' = 0$ di Mana-mana, Maka $f$ Konstan

Jika $f'(x) = 0$ untuk semua $x \in (a, b)$, maka $f(x) = c$ (konstanta) untuk semua $x \in [a, b]$.

Korolari 4.2 — Jika Dua Fungsi Punya Turunan Sama, Maka Bedanya Konstanta

Jika $f'(x) = g'(x)$ untuk semua $x \in (a, b)$, maka $f(x) = g(x) + C$ untuk suatu konstanta $C$.

Contoh 4.14 — Membuktikan Ketidaksamaan dengan MVT

Soal: Buktikan bahwa $\sin x < x$ untuk semua $x > 0$.

Bukti: Fix $x > 0$. Terapkan MVT pada $f(t) = \sin t$ di $[0, x]$:

$$\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \cos c \quad \text{untuk suatu } c \in (0, x)$$

$$\frac{\sin x}{x} = \cos c$$

Karena $0 < c < x$ dan $c \in (0, \pi/2)$ untuk $x$ cukup kecil, tapi secara umum $\cos c < 1$ untuk $c \in (0, x)$ dengan $x > 0$ (kecuali jika $x$ melewati $2\pi$ — namun untuk $x \in (0, \pi)$ argumen ini langsung berlaku).

Untuk kasus umum $x > 0$: tulis $x = n\pi + r$ dengan $0 \leq r < \pi$. Jika $r = 0$, maka $\sin x = 0 < n\pi = x$. Jika $r > 0$, terapkan MVT pada $[0, r]$ dan gunakan bahwa $\sin r < r$. ∎

4.7 Analisis Grafik Fungsi Lengkap

Prosedur Sistematis Analisis Grafik

Domain: Tentukan domain alami $f$.
Intersep: $x$-intersep ($f(x) = 0$) dan $y$-intersep ($f(0)$).
Simetri: Cek apakah genap ($f(-x) = f(x)$) atau ganjil ($f(-x) = -f(x)$).
Asimtot: Asimtot vertikal (penyebut = 0), horizontal ($\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$), dan miring.
Interval monoton: Tentukan tanda $f'$ → naik/turun.
Ekstrem lokal: Uji titik kritis.
Kecekungan dan titik belok: Tentukan tanda $f''$.
Sketsa: Plot semua informasi dan gambar kurva.

Contoh 4.15 — Analisis Grafik Lengkap: Fungsi Rasional

Soal: Analisis dan sketsakan $f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1}$.

1. Domain: $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$

2. Intersep:

$y$-intersep: $f(0) = 0$ → $(0, 0)$
$x$-intersep: $2x^2 = 0 \implies x = 0$ → hanya di titik asal

3. Simetri: $f(-x) = f(x)$ → fungsi genap (simetri terhadap sumbu-$y$). Cukup analisis $x \geq 0$.

4. Asimtot:

Vertikal: $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$. $\lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$.
Horizontal: derajat sama → $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \dfrac{2}{1} = 2$. Asimtot: $y = 2$.

5. Turunan pertama:

$$f'(x) = \frac{4x(x^2-1) - 2x^2(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{4x^3 - 4x - 4x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$$

Titik kritis: $f'(x) = 0 \implies x = 0$. Tanda $f'$: negatif untuk $x > 0$ (karena penyebut positif), positif untuk $x < 0$.

Monoton: Naik di $(-\infty, -1)$ dan $(-1, 0)$. Turun di $(0, 1)$ dan $(1, \infty)$.

Ekstrem: $x = 0$ → maksimum lokal (karena $f'$: $+ \to -$), $f(0) = 0$.

6. Turunan kedua:

$$f''(x) = \frac{-4(x^2-1)^2 + 4x \cdot 2(x^2-1)(2x)}{(x^2-1)^4} = \frac{-4(x^2-1) + 16x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{12x^2 + 4}{(x^2-1)^3}$$

Pembilang $12x^2 + 4 > 0$ selalu. Jadi tanda $f''$ = tanda penyebut $(x^2-1)^3$:

$(-1, 1)$: $(x^2-1) < 0$ → $f'' < 0$ → cekung bawah
$(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$: $(x^2-1) > 0$ → $f'' > 0$ → cekung atas

Titik belok: Tidak ada (karena $f''$ tidak pernah nol dan tidak berubah tanda melewati nol).

7. Sketsa: Fungsi genap, asimtot $y = 2$ dan $x = \pm 1$, maksimum lokal di $(0, 0)$, cekung atas di luar $(-1, 1)$ dan cekung bawah di antaranya.

Contoh 4.16 — Analisis Grafik: Fungsi dengan Asimtot Miring

$f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$

Domain: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$

Asimtot vertikal: $x = 1$. $\lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$.

Asimtot miring: Karena derajat pembilang = derajat penyebut $+ 1$, lakukan pembagian:

$$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1}$$

Asimtot miring: $y = x$ (karena $\dfrac{1}{x-1} \to 0$ saat $x \to \pm\infty$).

Turunan: $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

Titik kritis: $x = 0$ dan $x = 2$.

$x = 0$: $f''(0) = \dfrac{2}{(-1)^3} = -2 < 0$ → maks. lokal, $f(0) = -1$.
$x = 2$: $f''(2) = \dfrac{2}{(1)^3} = 2 > 0$ → min. lokal, $f(2) = 3$.

Kecekungan: $f''(x) = \dfrac{2}{(x-1)^3}$.

$x < 1$: $f'' < 0$ → cekung bawah
$x > 1$: $f'' > 0$ → cekung atas

Tidak ada titik belok ($f''$ tidak pernah nol).

4.8 Optimasi dalam Konteks Teknik

Masalah optimasi adalah aplikasi paling penting dari turunan dalam rekayasa. Pola umumnya:

Identifikasi kuantitas yang ingin dimaksimalkan/minimalkan.
Tuliskan kuantitas tersebut sebagai fungsi dari satu variabel.
Tentukan domain yang merepresentasikan situasi fisik.
Cari titik kritis dan uji (turunan pertama atau kedua).
Verifikasi bahwa solusi masuk akal secara fisik.

Contoh 4.17 — Optimasi: Kotak tanpa Tutup dari Lembaran

Soal: Dari selembar karton persegi panjang $24 \times 36$ cm, dipotong persegi identik di setiap sudut, lalu sisi-sisinya dilipat membentuk kotak tanpa tutup. Berapa ukuran potongan agar volume kotak maksimum?

Langkah 1: Misalkan sisi potongan $= x$ cm. Maka dimensi dasar: $(24-2x) \times (36-2x)$, tinggi: $x$.

Langkah 2: Fungsi volume:

$$V(x) = x(24-2x)(36-2x) = 4x(12-x)(18-x) = 4x(216 - 30x + x^2) = 4x^3 - 120x^2 + 864x$$

Langkah 3: Domain fisik: $0 < x < 12$ (karena $24 - 2x > 0$).

Langkah 4: Turunkan:

$$V'(x) = 12x^2 - 240x + 864 = 12(x^2 - 20x + 72) = 12(x-6)(x-12)$$

$$V'(x) = 0 \implies x = 6 \text{ atau } x = 12$$

$x = 12$ di luar domain (titik batas, volume = 0). Jadi hanya $x = 6$.

Langkah 5: Uji: $V''(x) = 24x - 240$. $V''(6) = 144 - 240 = -96 < 0$ → maksimum. ✓

Hasil:

$$\boxed{x = 6 \text{ cm}}, \quad \text{Dimensi: } 12 \times 24 \times 6 \text{ cm}, \quad V_{\max} = 1728 \text{ cm}^3$$

Contoh 4.18 — Optimasi: Jarak Minimum antara Titik dan Kurva

Soal: Tentukan titik pada parabola $y = x^2$ yang paling dekat dengan titik $(3, 0)$.

Langkah 1: Jarak dari $(3, 0)$ ke titik $(x, x^2)$ pada parabola:

$$d = \sqrt{(x-3)^2 + (x^2 - 0)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + x^4}$$

Langkah 2: Lebih mudah meminimalkan $d^2$ (karena akar fungsi monoton naik):

$$D(x) = (x-3)^2 + x^4 = x^4 + x^2 - 6x + 9$$

Langkah 3:

$$D'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(2x^3 + x - 3)$$

$$D'(x) = 0 \implies 2x^3 + x - 3 = 0$$

Coba $x = 1$: $2 + 1 - 3 = 0$ ✓. Faktorkan: $(x-1)(2x^2 + 2x + 3) = 0$.

Faktor kuadrat: diskriminan $= 4 - 24 = -20 < 0$, tidak ada akar real.

Jadi satu-satunya titik kritis: $x = 1$.

Langkah 4: $D''(x) = 12x^2 + 2$. $D''(1) = 14 > 0$ → minimum. ✓

Hasil: Titik terdekat: $\boxed{(1, 1)}$, jarak minimum $= \sqrt{(1-3)^2 + 1} = \sqrt{5}$.

Contoh 4.19 — Optimasi: Biaya Minimum

Soal: Sebuah pabrik memproduksi $x$ unit per hari. Biaya variabel per unit adalah $\left(12 - 0.1x + \dfrac{0.003}{x}\right)$ ribu rupiah. Biaya tetap harian adalah $50$ ribu rupiah. Tentukan produksi yang meminimalkan biaya rata-rata per unit.

Langkah 1: Biaya total:

$$C(x) = 50 + x\!\left(12 - 0.1x + \frac{0.003}{x}\right) = 50 + 12x - 0.1x^2 + 0.003$$

$$C(x) = 0.1x^2 - 12x + 50.003$$

Langkah 2: Biaya rata-rata:

$$\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = 0.1x - 12 + \frac{50.003}{x}$$

Langkah 3: Minimalkan:

$$\bar{C}'(x) = 0.1 - \frac{50.003}{x^2} = 0 \implies x^2 = \frac{50.003}{0.1} = 500.03 \implies x \approx 22.36$$

$$\bar{C}''(x) = \frac{100.006}{x^3} > 0 \text{ untuk } x > 0 \implies \text{minimum} \quad \checkmark$$

$$\boxed{x \approx 22 \text{ unit/hari}}, \quad \bar{C}_{\min} \approx 0.1(22.36) - 12 + \frac{50.003}{22.36} \approx -7.52 \text{ ribu/unit}$$

Contoh 4.20 — Optimasi: Waktu Tempuh Minimum (Snell's Law)

Soal: Seseorang di titik $A$ di pantai berjarak $2$ km dari garis pantai perlu mencapai titik $B$ di daratan, $6$ km sepanjang pantai dari titik terdekat. Kecepatan di pantai $4$ km/jam, di daratan $5$ km/jam. Di mana harus keluar dari pantai agar waktu minimum?

Langkah 1: Misalkan ia keluar pantai di titik yang berjarak $x$ km dari titik terdekat ke $A$ (sepanjang pantai). Jarak di pantai: $\sqrt{4 + x^2}$. Jarak di daratan: $6 - x$.

Langkah 2: Fungsi waktu:

$$T(x) = \frac{\sqrt{4 + x^2}}{4} + \frac{6 - x}{5}, \qquad 0 \leq x \leq 6$$

Langkah 3:

$$T'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{4+x^2}} - \frac{1}{5} = 0$$

$$\frac{x}{4\sqrt{4+x^2}} = \frac{1}{5} \implies 5x = 4\sqrt{4+x^2} \implies 25x^2 = 16(4+x^2) = 64 + 16x^2$$

$$9x^2 = 64 \implies x = \frac{8}{3} \approx 2.67 \text{ km}$$

$$\boxed{\text{Keluar pantai } \frac{8}{3} \text{ km dari titik terdekat ke } A}$$

Catatan: persamaan $\dfrac{\sin\theta_1}{v_1} = \dfrac{\sin\theta_2}{v_2}$ yang muncul di sini adalah persis Hukum Snell dari optika!

Contoh 4.21 — Optimasi: Penampang Balok Kuat

Soal: Sebuah balok kayu dengan penampang persegi panjang $w \times h$ harus dipotong dari silinder logam berjari-jari $R$. Tentukan $w$ dan $h$ yang memaksimalkan luas penampang (dan maka kekuatan balok).

Langkah 1: Batasan geometri: titik sudut penampang terletak pada lingkaran $w^2 + h^2 = 4R^2$ (diagonal = diameter).

Langkah 2: Luas: $A = wh$. Dari batasan: $h = \sqrt{4R^2 - w^2}$.

$$A(w) = w\sqrt{4R^2 - w^2}, \qquad 0 < w < 2R$$

Langkah 3: Lebih mudah memaksimalkan $A^2$:

$$A^2 = w^2(4R^2 - w^2) = 4R^2w^2 - w^4$$

$$\frac{d(A^2)}{dw} = 8R^2w - 4w^3 = 4w(2R^2 - w^2) = 0$$

$$w = 0 \text{ (trivial)}, \quad w^2 = 2R^2 \implies w = R\sqrt{2}$$

Maka $h = \sqrt{4R^2 - 2R^2} = R\sqrt{2}$.

$$\boxed{w = h = R\sqrt{2}}$$

Penampang kuat adalah persegi dengan sisi $R\sqrt{2}$ — bukan persegi panjang!

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 4

Sebuah balon berbentuk bola mengembang dengan laju $100$ cm$^3$/detik. Seberapa cepat jari-jari bertambah saat $r = 10$ cm?
Tentukan semua titik ekstrem lokal dan titik belok dari $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Sketsakan grafiknya.
Analisis grafik lengkap dari $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ (domain, asimtot, monoton, ekstrem, kecekungan, titik belok, sketsa).
Dari selembar karton persegi $s \times s$, dibuat kotak terbuka dengan memotong persegi $x \times x$ di setiap sudut. Tunjukkan bahwa volume maksimum tercapai saat $x = s/6$.
Buktikan ketidaksamaan $e^x \geq 1 + x$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$ menggunakan MVT atau analisis turunan.
Sebuah jendela berbentuk persegi panjang dengan setengah lingkaran di atasnya memiliki keliling $12$ m. Tentukan dimensi agar luas jendela maksimum.
Dua kota $A$ dan $B$ terletak di tepi sungai yang lurus, berjarak $10$ km sepanjang sungai. Kota $A$ berada $3$ km dari sungai, kota $B$ berada $5$ km dari sungai. Di mana harus dibangun pompa di tepi sungai agar total panjang pipa dari $A$ ke pompa ke $B$ minimum?
Tunjukkan bahwa jika $f''(x) > 0$ untuk semua $x$, maka setiap garis singgung grafik $f$ terletak di bawah grafik $f$. (Petunjuk: gunakan definisi kecekungan atas.)

Sebelumnya

Bab 3: Turunan Fungsi

Selanjutnya

Bab 5: Integral Tak Tentu

Interval	Uji Titik	Tanda \(f'(x)\)	\(f\) naik/turun
\((-\infty, 1)\)	\(x = 0\): \(f'(0) = 12 > 0\)	\(+\)	Naik
\((1, 2)\)	\(x = 1.5\): \(f'(1.5) = -1.5 < 0\)	\(-\)	Turun
\((2, \infty)\)	\(x = 3\): \(f'(3) = 12 > 0\)	\(+\)	Naik