Bab 21

Integral Ganda

Integral tentu satu variabel $\int_a^b f(x)\,dx$ menghitung luas di bawah kurva. Integral ganda $\iint_D f(x,y)\,dA$ menggeneralisasi konsep ini ke dua dimensi: menjumlahkan nilai fungsi $f$ di atas seluruh daerah $D$ di bidang $xy$. Hasilnya bisa berupa volume (jika $f > 0$), massa (jika $f$ adalah densitas), atau kuantitas fisik lainnya. Kunci perhitungan adalah Teorema Fubini: integral ganda dapat dipecah menjadi dua integral bertingkat, yang kita hitung satu per satu. Bab ini juga memperkenalkan integral ganda dalam koordinat polar — esensial ketika daerah integrasi berbentuk lingkaran atau sektor — dan berbagai aplikasi penting dalam teknik.

Gambar 21.1 — Alur Bab 21: dari motivasi volume hingga integral ganda tak wajar

21.1 Motivasi: Volume di Bawah Permukaan

Dalam Bab 6, kita mendefinisikan integral tentu $\int_a^b f(x)\,dx$ sebagai luas daerah di bawah kurva $y = f(x)$ melalui limit penjumlahan Riemann. Integral ganda muncul dari pertanyaan analog dalam tiga dimensi: berapa volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan $z = f(x,y)$ dan bidang $xy$?

Gambar 21.2 — Volume di bawah permukaan $z = f(x,y)$ di atas daerah $D$: limit jumlah prisma sempit saat partisi menjadi halus

21.2 Jumlahan Riemann Ganda dan Definisi Integral

Definisi 21.1 — Partisi dan Jumlahan Riemann Ganda

Biarkan $D \subseteq \mathbb{R}^2$ daerah tertutup terbatas. Partisi $P$ dari $D$ membagi $D$ menjadi $n$ subdaerah kecil $D_1, D_2, \ldots, D_n$ dengan luas $\Delta A_1, \Delta A_2, \ldots, \Delta A_n$. Pilih titik sampel $(x_i^*, y_i^*) \in D_i$.

Jumlahan Riemann ganda:

$$S(P, f) = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*, y_i^*)\,\Delta A_i $$

Integral ganda dari $f$ atas $D$:

$$\boxed{\iint_D f(x,y)\,dA = \lim_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*, y_i^*)\,\Delta A_i} $$

di mana $\|P\| = \max\{\text{diameter } D_i\}$ adalah norma partisi (ukuran subdaerah terbesar).

Teorema 21.1 — Keberadaan Integral Ganda

Jika $f$ kontinu pada daerah tertutup terbatas $D$, maka $\iint_D f\,dA$ ada (jumlahan Riemann konvergen ke nilai yang sama untuk setiap pilihan partisi dan titik sampel).

Syarat lebih lemah: $f$ terbatas dan himpunan titik ketidakberlanjutannya memiliki "luas nol" (misalnya berupa kurva atau himpunan titik terhitung).

21.3 Integral Ganda atas Persegi Panjang

Kasus paling sederhana: $D = [a,b] \times [c,d]$ adalah persegi panjang.

Teorema 21.2 — Teorema Fubini (Persegi Panjang)

Jika $f$ kontinu pada $R = [a,b] \times [c,d]$, maka:

$$\boxed{\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b\!\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\!\!\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy} $$

Integral ganda = integral bertingkat (iterated integral). Urutan integrasi boleh ditukar.

Cara Membaca Integral Bertingkat

$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$: baca dari luar ke dalam. Pertama, integralkan terhadap $y$ (dari $c$ sampai $d$), hasilnya adalah fungsi dari $x$ saja. Kemudian integralkan terhadap $x$ (dari $a$ sampai $b$). Selama integrasi dalam, variabel lain diperlakukan sebagai konstan — sama seperti turunan parsial, tapi dalam konteks integrasi.

Contoh 21.1 — Integral Ganda atas Persegi Panjang

$\iint_R (x^2 + y^2)\,dA$ dengan $R = [0,1] \times [0,2]$:

Integrasikan terhadap $y$ dulu:

$$\int_0^1\!\int_0^2 (x^2 + y^2)\,dy\,dx = \int_0^1 \left[x^2 y + \frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^{y=2}\,dx = \int_0^1 \left(2x^2 + \frac{8}{3}\right)dx $$

$$= \left[\frac{2x^3}{3} + \frac{8x}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3} $$

Verifikasi dengan urutan terbalik:

$$\int_0^2\!\int_0^1 (x^2 + y^2)\,dx\,dy = \int_0^2 \left[\frac{x^3}{3} + xy^2\right]_0^1\,dy = \int_0^2 \left(\frac{1}{3} + y^2\right)dy = \left[\frac{y}{3} + \frac{y^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \quad \checkmark $$

21.4 Integral Ganda atas Daerah Umum

Dalam praktik, daerah integrasi jarang berupa persegi panjang. Ada dua tipe utama daerah umum.

Definisi 21.2 — Daerah Tipe I dan Tipe II

Tipe I (dibatasi atas-bawah oleh fungsi $y$):

$$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\; g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\} $$

$$\boxed{\iint_D f\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx} $$

Tipe II (dibatasi kiri-kanan oleh fungsi $x$):

$$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\; h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\} $$

$$\boxed{\iint_D f\,dA = \int_c^d\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy} $$

Gambar 21.3 — Dua tipe daerah integrasi: Tipe I (batas atas-bawah fungsi $x$, integrasi dalam terhadap $y$) dan Tipe II (batas kiri-kanan fungsi $y$, integrasi dalam terhadap $x$).

Contoh 21.2 — Daerah Tipe I

$\iint_D xy\,dA$ dengan $D$ dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = x$.

Titik potong: $x^2 = x \implies x = 0$ atau $x = 1$. Daerah: $0 \leq x \leq 1$, $x^2 \leq y \leq x$.

$$\int_0^1\!\int_{x^2}^{x} xy\,dy\,dx = \int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{y=x}\,dx = \int_0^1 x\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2}\right)dx $$

$$= \frac{1}{2}\int_0^1 (x^3 - x^5)\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24} \quad \checkmark $$

21.5 Pertukaran Urutan Integrasi

Sering kali, suatu urutan integrasi menghasilkan integral yang sulit atau mustahil dihitung secara analitik, sedangkan urutan lainnya mudah. Pertukaran urutan integrasi adalah keterampilan kritis.

Teorema 21.3 — Fubini untuk Daerah Umum

Jika $f$ kontinu pada $D$, maka:

$$\int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy $$

asalkan kedua representasi mendeskripsikan daerah $D$ yang sama.

Prosedur Pertukaran Urutan

Gambar daerah $D$ dari batas-batas integral asli.
Identifikasi ulang daerah dalam tipe lain (Tipe I → Tipe II atau sebaliknya).
Tulis ulang integral dengan urutan dan batas baru.

Langkah 1 (menggambar) adalah yang paling penting — kesalahan paling umum adalah menukar batas tanpa memahami geometri daerah.

Contoh 21.3 — Pertukaran Urutan Integrasi

Tukar urutan: $\int_0^1\!\int_{x^2}^1 f(x,y)\,dy\,dx$.

Analisis daerah asli: $0 \leq x \leq 1$, $x^2 \leq y \leq 1$. Ini adalah daerah antara $y = x^2$ (parabola) dan $y = 1$ (garis horizontal).

Sebagai Tipe II: $y$ berkisar dari $0$ sampai $1$. Untuk setiap $y$, $x$ berkisar dari kurva $x = \sqrt{y}$ (sisi kanan parabola) sampai $x = 1$.

$$\boxed{\int_0^1\!\int_{x^2}^1 f(x,y)\,dy\,dx = \int_0^1\!\int_{\sqrt{y}}^{1} f(x,y)\,dx\,dy} $$

Verifikasi: di $y = 0$, batas $x$ dari $0$ ke $1$ (titik bawah parabola). Di $y = 1$, batas $x$ dari $1$ ke $1$ (titik tunggal). Konsisten. ✓

Contoh 21.4 — Mengapa Pertukaran Urutan Berguna

Hitung $\int_0^1\!\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy$.

Masalah: $\int e^{x^2}\,dx$ tidak memiliki antiturunan elementer — integral asli tidak bisa dihitung langsung!

Solusi: tukar urutan. Daerah: $0 \leq y \leq 1$, $y \leq x \leq 1$ (segitiga di bawah $y = x$). Sebagai Tipe I: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq x$.

$$\int_0^1\!\int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 e^{x^2}\cdot x\,dx $$

Sekarang substitusi $u = x^2$, $du = 2x\,dx$:

$$= \int_0^1 \frac{1}{2}e^{x^2}\cdot 2x\,dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du = \frac{1}{2}(e - 1) \quad \checkmark $$

Contoh 21.5 — Pertukaran Urutan: Daerah Lebih Kompleks

Tukar urutan: $\int_0^2\!\int_{x/2}^{1} f(x,y)\,dy\,dx + \int_2^3\!\int_{x/2}^{3-x} f(x,y)\,dy\,dx$.

Daerah terdiri dari dua bagian: (1) trapesium $0 \leq x \leq 2$, $x/2 \leq y \leq 1$; (2) segitiga $2 \leq x \leq 3$, $x/2 \leq y \leq 3-x$.

Gabungkan sebagai Tipe II: $y$ dari $0$ sampai $1$. Batas kiri: $x = 2y$. Batas kanan: untuk $y \leq 1/2$, $x = 3 - y$ (dari garis $x + y = 3$); tapi perlu diperiksa: di $y = 0$, $x$ dari $0$ sampai $3$; di $y = 1$, $x$ dari $2$ sampai $2$.

$$\boxed{\int_0^1\!\int_{2y}^{3-y} f(x,y)\,dx\,dy} $$

Dua integral bertingkat yang terpisah disatukan menjadi satu — pertukaran urutan menyederhanakan masalah secara dramatis. ✓

21.6 Sifat-Sifat Integral Ganda

Teorema 21.4 — Sifat Aljabar Integral Ganda

Untuk $f$, $g$ terintegrabel pada $D$ dan $c$ konstan:

$$\iint_D [f(x,y) + g(x,y)]\,dA = \iint_D f\,dA + \iint_D g\,dA $$

$$\iint_D c\,f(x,y)\,dA = c\iint_D f\,dA $$

$$\text{Jika } f(x,y) \leq g(x,y) \text{ pada } D, \text{ maka } \iint_D f\,dA \leq \iint_D g\,dA $$

Additivitas atas daerah: jika $D = D_1 \cup D_2$ dengan $D_1 \cap D_2$ memiliki luas nol:

$$\iint_D f\,dA = \iint_{D_1} f\,dA + \iint_{D_2} f\,dA $$

21.7 Integral Ganda dalam Koordinat Polar

Ketika daerah integrasi berbentuk lingkaran, sektor, cincin, atau memiliki simetri radial, koordinat polar sering kali jauh lebih sederhana daripada koordinat kartesian.

Definisi 21.3 — Konversi Koordinat Polar

$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad dA = r\,dr\,d\theta $$

Faktor $r$ dalam $dA$ adalah Jacobian transformasi — ia muncul karena "luas elemen" dalam koordinat polar bukan $dr\,d\theta$ melainkan $r\,dr\,d\theta$ (elemen berbentuk baji yang luasnya bergantung pada jari-jari).

Gambar 21.4 — Elemen luas $dA = r\,dr\,d\theta$ dalam koordinat polar: sisi radial $dr$ dan sisi busur $r\,d\theta$

Teorema 21.5 — Integral Ganda dalam Koordinat Polar

$$\boxed{\iint_D f(x,y)\,dA = \int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} f(r\cos\theta,\, r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta} $$

di mana $D$ dalam polar: $\alpha \leq \theta \leq \beta$, $h_1(\theta) \leq r \leq h_2(\theta)$.

Jangan lupa faktor $r$! Ini adalah kesalahan paling umum.

Contoh 21.6 — Integral atas Lingkaran Penuh

$\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA$ dengan $D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 4\}$.

Dalam polar: $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq r \leq 2$. $x^2 + y^2 = r^2$.

$$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 e^{r^2}\,r\,dr\,d\theta $$

Integral dalam: substitusi $u = r^2$, $du = 2r\,dr$:

$$\int_0^2 e^{r^2}\,r\,dr = \frac{1}{2}\int_0^4 e^u\,du = \frac{1}{2}(e^4 - 1) $$

$$= \int_0^{2\pi}\frac{e^4-1}{2}\,d\theta = \frac{e^4-1}{2}\cdot 2\pi = \boxed{\pi(e^4 - 1)} \quad \checkmark $$

Catatan: integral ini mustahil dihitung dalam koordinat kartesian karena $\int e^{x^2}\,dx$ tidak elementer — koordinat polar mengubahnya menjadi integral mudah.

Contoh 21.7 — Integral atas Cincin (Annulus)

$\iint_D \frac{1}{x^2+y^2}\,dA$ dengan $D = \{(x,y) : 1 \leq x^2+y^2 \leq 4\}$.

Polar: $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $1 \leq r \leq 2$.

$$\int_0^{2\pi}\!\int_1^2 \frac{1}{r^2}\,r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_1^2 \frac{1}{r}\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}[\ln r]_1^2\,d\theta = \int_0^{2\pi}\ln 2\,d\theta = 2\pi\ln 2 \quad \checkmark $$

Contoh 21.8 — Daerah Sektor

Volume di bawah $z = 4 - x^2 - y^2$ dan di atas sektor $0 \leq \theta \leq \pi/2$ dari lingkaran $r \leq 2$.

$$V = \int_0^{\pi/2}\!\int_0^2 (4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta = \int_0^{\pi/2}\!\int_0^2 (4r - r^3)\,dr\,d\theta $$

$$= \int_0^{\pi/2}\left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2\,d\theta = \int_0^{\pi/2}(8 - 4)\,d\theta = \int_0^{\pi/2}4\,d\theta = 2\pi \quad \checkmark $$

21.8 Perubahan Variabel pada Integral Ganda: Teori Jacobian

Pada Bagian 21.7, kita menggunakan koordinat polar dan menuliskan $dA = r\,dr\,d\theta$ tanpa penjelasan mendalam tentang asal-usul faktor $r$. Faktor ini bukan kebetulan — ia adalah kasus khusus dari Jacobian, sebuah objek aljabar yang mengukur bagaimana suatu transformasi koordinat "meregangkan" atau "memampatkan" elemen luas. Bagian ini membangun teori tersebut secara umum.

Definisi 21.6 — Matriks Jacobian (2D)

Jika $T$ adalah transformasi $C^1$ dari bidang $(u,v)$ ke bidang $(x,y)$:

$$x = x(u,v), \qquad y = y(u,v) $$

maka matriks Jacobian dari $T$ adalah:

$$\boxed{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = J = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}} $$

Determinan Jacobian:

$$\boxed{\det J = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}} $$

Mengapa $\det J$ adalah faktor skala luasan?

Perhatikan persegi kecil berukuran $\Delta u \times \Delta v$ di bidang $(u,v)$ dengan sudut kiri bawah di $(u_0, v_0)$. Keempat sudutnya memetakan ke bidang $(x,y)$ melalui $T$. Untuk $\Delta u$ dan $\Delta v$ kecil, bayangan persegi ini mendekati jajar genjang dengan vektor sisi:

$$\mathbf{a} = \left\langle \frac{\partial x}{\partial u}\Delta u,\; \frac{\partial y}{\partial u}\Delta u \right\rangle = \mathbf{r}_u\,\Delta u, \qquad \mathbf{b} = \left\langle \frac{\partial x}{\partial v}\Delta v,\; \frac{\partial y}{\partial v}\Delta v \right\rangle = \mathbf{r}_v\,\Delta v $$

Luas jajar genjang = besar cross product (di 2D, ini setara dengan determinan matriks yang dibentuk oleh dua vektor sisi):

$$\Delta A_{xy} \approx |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \left|\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}\Delta u & \frac{\partial x}{\partial v}\Delta v \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u}\Delta u & \frac{\partial y}{\partial v}\Delta v \end{pmatrix}\right| = \left|\det J\right|\,\Delta u\,\Delta v $$

Jadi $\det J$ adalah faktor perbesaran luasan lokal: luas elemen di bidang $(x,y)$ sama dengan $|\det J|$ kali luas elemen di bidang $(u,v)$. Tanda $\det J$ menunjukkan apakah orientasi dipertahankan ($\det J > 0$) atau dibalik ($\det J < 0$). $\quad\blacksquare$

Gambar 21.5 — Interpretasi geometris Jacobian: persegi $\Delta u \times \Delta v$ di ruang $(u,v)$ menjadi jajar genjang di ruang $(x,y)$ dengan luas dikali $|\det J|$

Derivasi: Faktor $r$ dalam Koordinat Polar

Transformasi polar: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Matriks Jacobian:

$$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} $$

$$\det J = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r $$

Jadi $dA = |\det J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta$. Faktor $r$ muncul secara alami dari perhitungan determinan — bukan dari "hukum fisika" atau hafalan. $\quad\blacksquare$

Teorema 21.6 — Perubahan Variabel Umum untuk Integral Ganda

Jika $T: (u,v) \mapsto (x,y)$ adalah transformasi satu-ke-satu dan $C^1$ dari daerah $D^*$ ke $D$, dengan $\det J \neq 0$ di interior $D^*$, maka untuk setiap $f$ yang terintegrabel pada $D$:

$$\boxed{\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D^*} f(x(u,v),\, y(u,v))\;\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv} $$

Prosedur: (1) Tentukan transformasi $T$ dan daerah baru $D^*$, (2) hitung $\det J$, (3) nyatakan $f$ dan $dA$ dalam variabel baru, (4) integrasikan atas $D^*$.

Contoh 21.17 — Perubahan Variabel Non-Polar

Hitung $\iint_D (x+y)\,dA$ dengan $D$ dibatasi $x+y \leq 1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Transformasi: $u = x+y$, $v = x-y$. Maka $x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$.

$$J = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \qquad \det J = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad |\det J| = \frac{1}{2} $$

Daerah $D^*$: $0 \leq u \leq 1$, $-u \leq v \leq u$ (karena $x \geq 0 \Rightarrow u+v \geq 0$ dan $y \geq 0 \Rightarrow u-v \geq 0$).

$$\iint_D (x+y)\,dA = \int_0^1\!\int_{-u}^{u} u \cdot \frac{1}{2}\,dv\,du = \frac{1}{2}\int_0^1 u(2u)\,du = \int_0^1 u^2\,du = \frac{1}{3} $$

Verifikasi dengan kartesian: $\int_0^1\!\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx = \int_0^1[x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2}]\,dx = \frac{1}{3}$. ✓ ✓

Contoh 21.18 — Mengapa Transformasi Membantu

Hitung $\iint_D e^{(x-y)/(x+y)}\,dA$ dengan $D$ = interior segitiga $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,2)$.

Integrand rumit, tapi dengan $u = x+y$, $v = x-y$ menjadi sederhana: eksponen = $e^{v/u}$. Daerah $D^*$: $0 \leq u \leq 2$, $-u \leq v \leq u$.

$$\int_0^2\!\int_{-u}^{u} e^{v/u}\cdot\frac{1}{2}\,dv\,du = \frac{1}{2}\int_0^2 u\left[e^{v/u}\right]_{-u}^{u}\,du = \frac{1}{2}\int_0^2 u(e - e^{-1})\,du = \frac{e-e^{-1}}{2}\cdot 2 = e - \frac{1}{e} \quad \checkmark $$

Transformasi mengubah integral yang mustahil secara kartesian menjadi integral elementer. Ini adalah kekuatan sesungguhnya dari teori Jacobian. ✓

Syarat-Syarat Penting

Satu-ke-satu: $T$ harus bijektif pada domain (setiap titik di $D$ memiliki tepat satu preimage di $D^*$). Jika tidak, bisa terjadi penghitungan ganda atau terlewat.
$\det J \neq 0$: menjamin bahwa transformasi tidak "meruntuhkan" dimensi (misalnya, memetakan daerah 2D ke kurva 1D).
$C^1$: turunan parsial kontinu menjamin Jacobian bervariasi halus sehingga aproksimasi jajar genjang akurat.
Nilai mutlak: kita selalu menggunakan $|\det J|$, bukan $\det J$, karena luas selalu positif. Tanda $\det J$ memberikan informasi orientasi, bukan besaran luasan.

21.9 Aplikasi: Luas Daerah

Jika $f(x,y) = 1$, maka $\iint_D 1\,dA$ = luas daerah $D$.

Rumus Luas via Integral Ganda

$$\boxed{\text{Luas}(D) = \iint_D dA = \iint_D dx\,dy} $$

Dalam koordinat polar:

$$\text{Luas}(D) = \int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} r\,dr\,d\theta $$

Contoh 21.19 — Luas Daerah antara Dua Kurva

Luas daerah $D$ dibatasi $y = 2x$ dan $y = x^2$.

Titik potong: $x^2 = 2x \implies x = 0, 2$.

$$A = \int_0^2\!\int_{x^2}^{2x} dy\,dx = \int_0^1 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \quad \checkmark $$

Ini sama dengan integral satu variabel $\int_0^2(2x - x^2)\,dx$ — integral ganda menyederhanakan menjadi integral biasa saat $f = 1$.

Contoh 21.20 — Luas dalam Koordinat Polar

Luas satu daun mawar $r = \sin 2\theta$ (untuk $0 \leq \theta \leq \pi/2$).

$$A = \int_0^{\pi/2}\!\int_0^{\sin 2\theta} r\,dr\,d\theta = \int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2 2\theta}{2}\,d\theta = \int_0^{\pi/2}\frac{1 - \cos 4\theta}{4}\,d\theta $$

$$= \left[\frac{\theta}{4} - \frac{\sin 4\theta}{16}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{8} \quad \checkmark $$

21.10 Aplikasi: Volume di Bawah Permukaan

Contoh 21.21 — Volume antara Dua Permukaan

Volume dibatasi oleh $z = x^2 + y^2$ (paraboloid) dan $z = 8 - x^2 - y^2$ (paraboloid terbalik).

Perpotongan: $x^2 + y^2 = 8 - x^2 - y^2 \implies x^2 + y^2 = 4$ (lingkaran $r = 2$).

Tinggi di titik $(x,y)$: $h = (8 - x^2 - y^2) - (x^2 + y^2) = 8 - 2(x^2+y^2) = 8 - 2r^2$.

$$V = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 (8 - 2r^2)\,r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 (8r - 2r^3)\,dr\,d\theta $$

$$= \int_0^{2\pi}\left[4r^2 - \frac{r^4}{2}\right]_0^2\,d\theta = \int_0^{2\pi}(16 - 8)\,d\theta = 8 \cdot 2\pi = 16\pi \quad \checkmark $$

Contoh 21.22 — Volume dengan Batas Fungsi

Volume di bawah $z = xy$ dan di atas daerah segitiga dengan vertices $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$.

Daerah: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq x$.

$$V = \int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx = \int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^x\,dx = \int_0^1 \frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8} \quad \checkmark $$

21.11 Aplikasi: Massa, Momen, dan Pusat Massa

Jika $D$ adalah pelat tipis dengan densitas permukaan $\rho(x,y)$ (massa per luas), maka integral ganda menghitung berbagai kuantitas fisik.

Definisi 21.4 — Kuantitas Fisika Pelat Tipis

Massa total:

$$\boxed{M = \iint_D \rho(x,y)\,dA} $$

Momen terhadap sumbu:

$$M_x = \iint_D y\,\rho(x,y)\,dA \qquad \text{(momen terhadap sumbu }x\text{)} $$

$$M_y = \iint_D x\,\rho(x,y)\,dA \qquad \text{(momen terhadap sumbu }y\text{)} $$

Pusat massa $(\bar{x}, \bar{y})$:

$$\boxed{\bar{x} = \frac{M_y}{M} = \frac{\iint_D x\,\rho\,dA}{\iint_D \rho\,dA}, \qquad \bar{y} = \frac{M_x}{M} = \frac{\iint_D y\,\rho\,dA}{\iint_D \rho\,dA}} $$

Momen inersia:

$$I_x = \iint_D y^2\,\rho\,dA, \qquad I_y = \iint_D x^2\,\rho\,dA, \qquad I_0 = \iint_D (x^2+y^2)\,\rho\,dA = I_x + I_y $$

Densitas Konstan vs. Variabel

Jika $\rho$ konstan, maka pusat massanya sama dengan sentroid (pusat geometri) daerah: $\bar{x} = \frac{1}{A}\iint_D x\,dA$, $\bar{y} = \frac{1}{A}\iint_D y\,dA$. Densitas konstan sering diasumsikan dalam perhitungan sederhana. Dalam praktik teknik, densitas bisa bergantung pada posisi (misalnya pelat yang menebal di satu sisi, atau distribusi tekanan tidak seragam).

Contoh 21.23 — Pusat Massa Pelat Segitiga

Pelat segitiga dengan vertices $(0,0)$, $(a,0)$, $(0,b)$ dan densitas konstan $\rho$.

Massa: $M = \rho \cdot \frac{ab}{2}$.

$$M_y = \rho\int_0^a\!\int_0^{b(1-x/a)} x\,dy\,dx = \rho\int_0^a bx\left(1 - \frac{x}{a}\right)dx = \rho b\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3a}\right]_0^a = \frac{\rho a^2 b}{6} $$

$$\bar{x} = \frac{\rho a^2 b / 6}{\rho ab / 2} = \frac{a}{3} $$

Demikian pula $\bar{y} = b/3$. Pusat massa segitiga berada di $(a/3, b/3)$ dari titik siku-siku — sesuai dengan rumus sentroid segitiga yang sudah dikenal. ✓

Contoh 21.24 — Momen Inersia Cakram

Cakram berjari-jari $R$ dengan densitas konstan $\rho$. $I_0$ terhadap pusat:

$$I_0 = \rho\int_0^{2\pi}\!\int_0^R r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = \rho\int_0^{2\pi}\!\int_0^R r^3\,dr\,d\theta = \rho\int_0^{2\pi}\frac{R^4}{4}\,d\theta = \frac{\rho\pi R^4}{2} = \frac{1}{2}MR^2 $$

Karena $M = \rho\pi R^2$, didapat $I_0 = \frac{1}{2}MR^2$ — rumus momen inersia cakram yang terkenal dalam mekanika. ✓

Contoh 21.25 — Densitas Variabel

Pelat persegi $[0,1] \times [0,1]$ dengan $\rho(x,y) = x + y$. Hitung massa dan pusat massa.

$$M = \int_0^1\!\int_0^1 (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1\left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_0^1\,dx = \int_0^1\left(x + \frac{1}{2}\right)dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$

$$M_y = \int_0^1\!\int_0^1 x(x+y)\,dy\,dx = \int_0^1\left[x^2y + \frac{xy^2}{2}\right]_0^1\,dx = \int_0^1\left(x^2 + \frac{x}{2}\right)dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} $$

$$M_x = \int_0^1\!\int_0^1 y(x+y)\,dy\,dx = \int_0^1\left[\frac{xy^2}{2} + \frac{y^3}{3}\right]_0^1\,dx = \int_0^1\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{3}\right)dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12} $$

$$\bar{x} = \frac{7}{12}, \qquad \bar{y} = \frac{7}{12} \quad \checkmark $$

Pusat massa sedikit bergeser dari $(1/2, 1/2)$ ke $(7/12, 7/12)$ karena densitas lebih besar di dekat sudut $(1,1)$.

21.12 Densitas Permukaan Rata-rata

Definisi 21.5 — Nilai Rata-rata Fungsi Dua Variabel

$$\boxed{f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(D)}\iint_D f(x,y)\,dA} $$

di mana $A(D) = \iint_D dA$ adalah luas daerah $D$. Ini adalah generalisasi dari $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Contoh 21.26 — Suhu Rata-rata pada Pelat

Suhu pelat lingkaran $x^2 + y^2 \leq R^2$ adalah $T(x,y) = T_0 + k(x^2 + y^2)$. Suhu rata-rata:

$$T_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\int_0^R (T_0 + kr^2)\,r\,dr\,d\theta = \frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\left[T_0\frac{r^2}{2} + k\frac{r^4}{4}\right]_0^R\,d\theta $$

$$= \frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\left(\frac{T_0 R^2}{2} + \frac{kR^4}{4}\right)d\theta = \frac{2\pi}{\pi R^2}\left(\frac{T_0 R^2}{2} + \frac{kR^4}{4}\right) = T_0 + \frac{kR^2}{2} $$

Suhu rata-rata = suhu di pusat + setengah dari kenaikan suhu di tepi. ✓

21.13 Integral Ganda Tak Wajar

Sama seperti integral tentu satu variabel bisa "tak wajar" (batas tak hingga atau integrand tidak terbatas), integral ganda juga bisa tak wajar.

Definisi 21.6 — Integral Ganda Tak Wajar

Tipe 1 — Daerah tak terbatas: $D$ tidak terbatas (misalnya seluruh $\mathbb{R}^2$, kuadran pertama, di luar lingkaran).

$$\iint_{\mathbb{R}^2} f\,dA = \lim_{a\to\infty}\iint_{[-a,a]\times[-a,a]} f\,dA $$

Tipe 2 — Integrand tidak terbatas: $f$ tidak terbatas di sekitar titik atau kurva dalam $D$.

Integral tak wajar konvergen jika limit ada (finite), divergen jika tidak.

Contoh 21.27 — Integral Gauss

$I = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA$. Gunakan koordinat polar dengan $R \to \infty$:

$$I = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\infty} e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\left[\frac{-e^{-r^2}}{2}\right]_0^{\infty}\,d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta = \pi $$

Tapi $I = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2$, sehingga:

$$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}} $$

Ini adalah integral Gauss — salah satu hasil paling terkenal dalam matematika, muncul di mana-mana dari teori probabilitas (distribusi normal) sampai fisika kuantum. Integral ganda dalam koordinat polar memberikan bukti paling elegan. ✓

Contoh 21.28 — Divergensi

$\iint_D \frac{1}{x^2+y^2}\,dA$ dengan $D = \{(x,y) : x^2+y^2 \geq 1\}$ (di luar lingkaran satuan).

$$\int_0^{2\pi}\!\int_1^{\infty} \frac{1}{r^2}\,r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_1^{\infty}\frac{1}{r}\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}[\ln r]_1^{\infty}\,d\theta $$

$\ln r \to \infty$ saat $r \to \infty$, jadi integral ini divergen. ✓

Peringatan: Integral Tak Wajar 2D vs. 1D

Dalam satu variabel, $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx$ konvergen untuk $p > 1$. Dalam dua variabel, $\iint_{x^2+y^2 \geq 1} \frac{1}{(x^2+y^2)^{p/2}}\,dA = 2\pi\int_1^{\infty} r^{1-p}\,dr$ konvergen untuk $p > 2$ (bukan $p > 1$!). Secara umum, di $\mathbb{R}^n$, integral radial $\int r^{n-1-p}\,dr$ konvergen untuk $p > n$. Ini menunjukkan bahwa integral tak wajar menjadi "lebih sulit konvergen" seiring dimensi bertambah.

21.14 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 21

Kuantitas	Rumus
Fubini (persegi panjang)	$\int_a^b\!\int_c^d f\,dy\,dx = \int_c^d\!\int_a^b f\,dx\,dy$
Tipe I	$\int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f\,dy\,dx$
Tipe II	$\int_c^d\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f\,dx\,dy$
Koordinat polar	$\int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{h_1}^{h_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$
Jacobian polar	$dA = r\,dr\,d\theta$
Luas daerah	$A = \iint_D dA$
Massa pelat	$M = \iint_D \rho\,dA$
Pusat massa	$\bar{x} = M_y/M$, $\bar{y} = M_x/M$
Momen inersia pusat	$I_0 = \iint_D (x^2+y^2)\rho\,dA$
Nilai rata-rata	$f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(D)}\iint_D f\,dA$
Integral Gauss	$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

Jembatan ke Bab 22

Integral ganda menjumlahkan $f$ di atas daerah 2D. Bab 22 memperluas ke integral tiga $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$ — menjumlahkan $f$ di atas daerah 3D (volume). Semua konsep di sini generalisasi langsung: Fubini menjadi tiga integral bertingkat, koordinat polar menjadi koordinat silinder dan bola (dengan Jacobian $r$ dan $\rho^2\sin\varphi$), dan aplikasi massa/momen menjadi tiga dimensi. Faktor Jacobian adalah satu-satunya "kejutan" — pastikan untuk mengingat $r$ dalam silinder dan $\rho^2\sin\varphi$ dalam bola.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 21

Hitung $\iint_R (x^2y + y^2x)\,dA$ dengan $R = [-1,2] \times [0,1]$ dengan kedua urutan integrasi. Verifikasi hasilnya sama.
Hitung $\iint_D (x + y)\,dA$ dengan $D$ dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = 2x$.
Tukar urutan integrasi: $\int_0^1\!\int_{\sqrt{y}}^{1} \frac{\sin x}{x}\,dx\,dy$. Kemudian hitung nilainya.
Tukar urutan: $\int_0^1\!\int_{\arctan x}^{\pi/4} f(x,y)\,dy\,dx + \int_1^{\infty}\!\int_{\arctan x}^{\pi/2} f(x,y)\,dy\,dx$.
Hitung $\iint_D \sqrt{x^2+y^2}\,dA$ dengan $D$ adalah cincin $1 \leq x^2+y^2 \leq 4$.
Hitung $\iint_D e^{-x^2-y^2}\,dA$ dengan $D$ = kuadran pertama $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x^2+y^2 \leq 9$.
Temukan volume benda yang dibatasi oleh paraboloid $z = 4 - x^2 - y^2$ dan bidang $z = 0$.
Pelat setengah lingkaran $x^2 + y^2 \leq a^2$, $y \geq 0$ memiliki densitas $\rho(x,y) = ky$. Hitung massa dan pusat massanya.
Hitung momen inersia $I_x$ dan $I_y$ untuk pelat persegi $[0,a] \times [0,b]$ dengan densitas konstan $\rho$. Tunjukkan $I_0 = I_x + I_y = \frac{\rho ab(a^2+b^2)}{12} = \frac{M(a^2+b^2)}{12}$.
Tantangan: Tunjukkan bahwa $\int_0^{\infty} e^{-x^2}\cos(2bx)\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-b^2}$ dengan mengevaluasi $\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\cos(2bx)\,dA$ dalam koordinat polar setelah substitusi yang tepat. Petunjuk: gunakan $e^{-(x^2+y^2)}\cos(2bx) = \text{Re}[e^{-x^2-2ibx}\cdot e^{-y^2}]$ dan lengkapi kuadrat.

Sebelumnya

Bab 20: Aplikasi Turunan Parsial

Selanjutnya

Bab 22: Integral Tiga