Vektor dan Ruang Tiga Dimensi
Kalkulus I dan II beroperasi sepenuhnya dalam bidang — domain dan range fungsi berada di $\mathbb{R}^2$. Bab ini membuka pintu ke $\mathbb{R}^3$: ruang tiga dimensi yang merupakan panggung utama Kalkulus III. Kita membangun infrastruktur geometris yang diperlukan: sistem koordinat, vektor sebagai objek yang membawa besaran dan arah, dua jenis perkalian vektor (titik dan silang) dengan interpretasi geometris yang saling melengkapi, persamaan garis dan bidang, serta katalog permukaan dasar (silinder, kerucut, sfera). Semua ini adalah fondasi wajib sebelum kita mendefinisikan turunan parsial, integral ganda, dan integral garis di bab-bab berikutnya.
17.1 Sistem Koordinat Kartesian Tiga Dimensi
Dalam $\mathbb{R}^2$, titik diidentifikasi oleh dua koordinat $(x, y)$. Dalam $\mathbb{R}^3$, kita menambahkan sumbu ketiga — sumbu-$z$ — yang tegak lurus terhadap sumbu-$x$ dan sumbu-$y$.
Tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus dan berpotongan di origin $O = (0, 0, 0)$ membentuk sistem koordinat kartesian tiga dimensi. Konvensi tangan kanan (right-handed): jika jari telunjuk mengarah ke sumbu-$x$ positif dan jari tengah ke sumbu-$y$ positif, maka ibu jari mengarah ke sumbu-$z$ positif.
Jarak antara $P_1(x_1, y_1, z_1)$ dan $P_2(x_2, y_2, z_2)$:
Titik tengah segmen $P_1P_2$:
Tiga bidang koordinat ($xy$, $yz$, $zx$) membagi $\mathbb{R}^3$ menjadi delapan oktan (analogi dari empat kuadran di $\mathbb{R}^2$). Oktan I: $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$. Tidak ada konvensi penomoran standar untuk oktan II–VIII; yang penting adalah mengetahui tanda koordinat di setiap oktan.
$P_1(1, -2, 4)$ dan $P_2(3, 0, -1)$:
✓
17.2 Vektor di $\mathbb{R}^3$
Vektor di $\mathbb{R}^3$ adalah perluasan langsung dari vektor di $\mathbb{R}^2$: sebuah objek yang memiliki besaran (panjang) dan arah.
Vektor $\mathbf{a}$ di $\mathbb{R}^3$ ditulis sebagai:
di mana $\mathbf{i} = \langle 1,0,0 \rangle$, $\mathbf{j} = \langle 0,1,0 \rangle$, $\mathbf{k} = \langle 0,0,1 \rangle$ adalah vektor basis standar.
Penjumlahan: $\langle a_1,a_2,a_3 \rangle + \langle b_1,b_2,b_3 \rangle = \langle a_1+b_1,\, a_2+b_2,\, a_3+b_3 \rangle$
Perkalian skalar: $c\langle a_1,a_2,a_3 \rangle = \langle ca_1,\, ca_2,\, ca_3 \rangle$
Panjang (norma):
Vektor satuan: $\hat{\mathbf{a}} = \dfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$ (untuk $\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$)
Vektor dari $P_1$ ke $P_2$: $\overrightarrow{P_1P_2} = \langle x_2-x_1,\, y_2-y_1,\, z_2-z_1 \rangle$
Diberikan $\mathbf{a} = \langle 2, -1, 3 \rangle$ dan $\mathbf{b} = \langle 4, 0, -2 \rangle$:
(a) $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \langle 6, -1, 1 \rangle$
(b) $3\mathbf{a} - 2\mathbf{b} = \langle 6,-3,9 \rangle - \langle 8,0,-4 \rangle = \langle -2, -3, 13 \rangle$
(c) $|\mathbf{a}| = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$
(d) $\hat{\mathbf{a}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}\langle 2, -1, 3 \rangle = \left\langle \dfrac{2}{\sqrt{14}},\; \dfrac{-1}{\sqrt{14}},\; \dfrac{3}{\sqrt{14}} \right\rangle$
✓
17.3 Hasil Kali Titik (Dot Product)
Hasil kali titik mengambil dua vektor dan menghasilkan sebuah skalar (bilangan). Meskipun outputnya sederhana, informasi geometris yang terkandung sangat kaya.
Untuk $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ dan $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$:
- Komutatif: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
- Distributif: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
- Bilinear: $(c\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = c(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$
- Norma: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$
- Ortogonal: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \iff \mathbf{a} \perp \mathbf{b}$ (untuk vektor nol-bukan)
di mana $\theta \in [0, \pi]$ adalah sudut antara $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ (ketika ekor keduanya bertemu di satu titik). Konsekuensi langsung:
Pada segitiga yang dibentuk oleh $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, dan $\mathbf{a}-\mathbf{b}$, hukum kosinus memberikan:
Expand kiri: $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2 = (\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b}) = |\mathbf{a}|^2 - 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + |\mathbf{b}|^2$. Substitusi dan bandingkan:
Selesaikan: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$. $\quad\blacksquare$
Proyeksi skalar dari $\mathbf{b}$ pada $\mathbf{a}$ (komponen $\mathbf{b}$ sepanjang $\mathbf{a}$):
Proyeksi vektor dari $\mathbf{b}$ pada $\mathbf{a}$:
Jika $\theta_\alpha$, $\theta_\beta$, $\theta_\gamma$ adalah sudut yang dibentuk vektor $\mathbf{a}$ dengan sumbu-$x$, $y$, $z$ berturut-turut, maka:
dan berlaku relasi fundamental:
$\mathbf{a} = \langle 1, 2, -1 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 3, 0, 4 \rangle$:
Sudut hampir siku-siku (sedikit lebih dari $90°$). ✓
Proyeksikan $\mathbf{b} = \langle 3, 0, 4 \rangle$ pada $\mathbf{a} = \langle 1, 2, -1 \rangle$:
Komponen ortogonal: $\mathbf{b} - \text{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \left\langle \dfrac{19}{6},\; \dfrac{1}{3},\; \dfrac{23}{6} \right\rangle$. Verifikasi: $\mathbf{a} \cdot \left(\mathbf{b} - \text{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}\right) = \frac{19}{6} + \frac{2}{3} - \frac{23}{6} = 0$. ✓ Ortogonal. ✓
17.4 Hasil Kali Silang (Cross Product)
Hasil kali silang mengambil dua vektor dan menghasilkan sebuah vektor yang tegak lurus terhadap keduanya. Operasi ini unik untuk $\mathbb{R}^3$ (tidak ada analog umum di dimensi lain) dan merupakan alat utama untuk menentukan vektor normal bidang.
Untuk $\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ dan $\mathbf{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$:
"Determinan" di atas bukan determinan biasa — baris pertama berisi vektor, bukan bilangan. Ini hanyalah cara mengingat rumus komponen. Untuk menghitung, kofaktor-ekspansi sepanjang baris pertama.
- Anti-komutatif: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$
- Distributif: $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$
- Skalar: $(c\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = c(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times (c\mathbf{b})$
- Bukan asosiatif: $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \neq (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ (umumnya)
- Parallel: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} \iff \mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$ (atau salah satu nol)
- Basis: $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}$, $\mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}$, $\mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}$ (siklus positif tangan kanan)
Panjang:
ini sama dengan luas paralelogram yang dibentuk oleh $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$.
Arah: $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ tegak lurus terhadap $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$, dengan arah ditentukan oleh aturan tangan kanan: dari $\mathbf{a}$ ke $\mathbf{b}$ melalui sudut $\theta < \pi$, ibu jari menunjuk arah $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$.
Untuk tiga vektor $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$:
Interpretasi geometris: $|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$ = volume paralelepiped yang dibentuk oleh $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$.
Koplanar: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 0 \iff$ ketiga vektor koplanar.
$\mathbf{a} = \langle 2, 1, -1 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 3, 0, 4 \rangle$:
Verifikasi ortogonal: $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 8-11+3 = 0$ ✓, $\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 12+0-12 = 0$ ✓
Luas paralelogram: $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = \sqrt{16+121+9} = \sqrt{146}$
✓
$\mathbf{a} = \langle 1, 0, 0 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 0, 2, 0 \rangle$, $\mathbf{c} = \langle 0, 0, 3 \rangle$:
Volume = $6$, yang sesuai dengan volume kotak $1 \times 2 \times 3 = 6$. ✓
Dot product menjawab pertanyaan tentang sudut dan proyeksi: "Seberapa sejajar dua vektor?" Hasilnya skalar, maksimum saat sejajar, nol saat tegak lurus. Cross product menjawab pertanyaan tentang ortogonalitas dan luas: "Vektor mana yang tegak lurus terhadap keduanya?" Hasilnya vektor, maksimum panjangnya saat tegak lurus, nol saat sejajar. Keduanya saling melengkapi: dot product mengukur komponen sejajar, cross product mengukur komponen tegak lurus.
17.5 Persamaan Garis di Ruang Tiga Dimensi
Di $\mathbb{R}^2$, sebuah garis cukup ditentukan oleh satu persamaan (misalnya $y = mx + b$). Di $\mathbb{R}^3$, dibutuhkan dua persamaan (garis adalah irisan dua bidang) atau, lebih praktis, persamaan parametrik.
Garis melalui $P_0(x_0, y_0, z_0)$ dengan arah vektor $\mathbf{v} = \langle a, b, c \rangle$ ($\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$):
(1) Bentuk vektor:
(2) Bentuk parametrik:
(3) Bentuk simetrik (jika $a, b, c$ semua nol-bukan):
Jika salah satu komponen $= 0$ (misal $c = 0$), bentuk simetrik ditulis sebagai $\dfrac{x-x_0}{a} = \dfrac{y-y_0}{b}$, $z = z_0$.
Garis melalui $P(1, 2, -1)$ dan $Q(4, 0, 3)$:
Vektor arah: $\mathbf{v} = \overrightarrow{PQ} = \langle 3, -2, 4 \rangle$.
Bentuk simetrik: $\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y-2}{-2} = \dfrac{z+1}{4}$. ✓
Dua garis di $\mathbb{R}^3$ dapat:
- Berpotongan: ada tepat satu titik persekutuan
- Sejajar: vektor arah sejajar ($\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$) tetapi tidak berpotongan
- Skew (miring silang): tidak sejajar dan tidak berpotongan — hanya mungkin di $\mathbb{R}^3$, tidak ada di $\mathbb{R}^2$
Uji skew: $\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2) \neq 0$ (hasil kali tripel skalar bukan nol → ketiga vektor tidak koplanar → garis-garis tidak sebidang → skew).
Jarak dari titik $P$ ke garis melalui $P_0$ dengan arah $\mathbf{v}$:
$|\overrightarrow{P_0P} \times \mathbf{v}| = |\overrightarrow{P_0P}|\,|\mathbf{v}|\,\sin\theta$ = luas paralelogram. Jarak $d$ adalah "tinggi" paralelogram tersebut terhadap "alas" $|\mathbf{v}|$, sehingga $d = \text{luas}/\text{alas} = |\overrightarrow{P_0P}\times\mathbf{v}|/|\mathbf{v}|$. $\quad\blacksquare$
Jarak dari $P(3, 1, -1)$ ke garis $x = 1+t$, $y = 2-t$, $z = t$:
$P_0 = (1,2,0)$, $\mathbf{v} = \langle 1,-1,1 \rangle$, $\overrightarrow{P_0P} = \langle 2,-1,-1 \rangle$.
✓
17.6 Persamaan Bidang di Ruang Tiga Dimensi
Bidang di $\mathbb{R}^3$ ditentukan oleh satu titik dan satu vektor normal (vektor yang tegak lurus terhadap bidang). Ini adalah konsep kunci: cross product memberi kita cara menemukan vektor normal dari dua vektor yang terletak pada bidang.
Bidang melalui $P_0(x_0, y_0, z_0)$ dengan vektor normal $\mathbf{n} = \langle a, b, c \rangle$:
(1) Bentuk titik-normal:
(2) Bentuk umum:
(3) Bentuk intersep (jika $a,b,c$ semua nol-bukan dan bidang memotong ketiga sumbu):
di mana $(p,0,0)$, $(0,q,0)$, $(0,0,r)$ adalah titik potong dengan sumbu.
Bidang melalui $P(1, 0, 2)$, $Q(3, -1, 1)$, $R(2, 1, 4)$:
Vektor pada bidang: $\overrightarrow{PQ} = \langle 2,-1,-1 \rangle$, $\overrightarrow{PR} = \langle 1,1,2 \rangle$.
Vektor normal: $\mathbf{n} = \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} = \langle -1,\,-5,\,3 \rangle$.
✓
Jika $\mathbf{n}_1$ dan $\mathbf{n}_2$ adalah vektor normal dua bidang, maka sudut antara bidang (sudut dih antara normalnya) adalah:
Nilai mutlak diambil agar $\theta \in [0, \pi/2]$ (sudut tajam).
Bidang sejajar: $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \mathbf{0}$. Bidang tegak lurus: $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0$.
Garis $\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ dan bidang $\mathbf{n}\cdot\mathbf{r} = d$:
- Sejajar: $\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0$ (arah garis tegak lurus terhadap normal bidang)
- Tidak sejajar: titik potong diperoleh dengan substitusi parametrik ke persamaan bidang
- Sudut antara garis dan bidang: $\sin\phi = \dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{v}|\,|\mathbf{n}|}$ (komplemen dari sudut antara $\mathbf{v}$ dan $\mathbf{n}$)
Jarak dari titik $P(x_1, y_1, z_1)$ ke bidang $ax + by + cz = d$:
Jarak dari $P(2, 1, -3)$ ke bidang $2x - y + 2z = 4$:
✓
Bidang $x + y + z = 1$ dan $2x - y + z = 0$. Irisan keduanya adalah garis. Untuk menemukan persamaan parametrik, selesaikan sistem:
Dari persamaan kedua: $y = 2x + z$. Substitusi ke pertama: $x + 2x + z + z = 1 \implies 3x + 2z = 1$. Pilih $z = t$:
Atau, tulis ulang: $x = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}t$, $y = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}t$, $z = t$. Vektor arah: $\langle -2/3,\,-1/3,\,1 \rangle$ atau $\langle -2,-1,3 \rangle$. ✓
17.7 Permukaan: Silinder, Kerucut, dan Sfera
17.7.1 Silinder
Silinder adalah permukaan yang dibentuk oleh semua garis (garis pembangun/ruled lines) yang sejajar terhadap arah tertentu dan melalui kurva panduan tertentu. Silinder tidak harus lingkaran dan tidak harus vertikal.
| Persamaan | Jenis | Arah Garis Pembangun |
|---|---|---|
| $x^2 + y^2 = a^2$ | Silinder lingkaran, sumbu-$z$ | Sejajar sumbu-$z$ (variabel $z$ bebas) |
| $y^2 + z^2 = a^2$ | Silinder lingkaran, sumbu-$x$ | Sejajar sumbu-$x$ |
| $x^2 + z^2 = a^2$ | Silinder lingkaran, sumbu-$y$ | Sejajar sumbu-$y$ |
| $y = x^2$ | Silinder parabolik | Sejajar sumbu-$z$ |
| $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | Silinder elips | Sejajar sumbu-$z$ |
Persamaan silinder tidak memuat salah satu variabel (misalnya, tidak ada $z$ dalam $x^2+y^2=a^2$). Variabel yang hilang menunjukkan arah garis pembangun. Ini berbeda dari "silinder" dalam konteks benda putar (Bab 8) — di sini silinder adalah permukaan, bukan volume padat.
17.7.2 Kuadrik (Permukaan Tingkat Dua)
Permukaan kuadratik adalah himpunan titik $(x,y,z)$ yang memenuhi persamaan kuadrat umum:
dengan setidaknya satu dari $A, B, C, D, E, F$ bukan nol. Melalui rotasi dan translasi sumbu, bentuk ini dapat disederhanakan menjadi enam tipe kanonik (asumsikan $D = E = F = G = H = I = 0$).
| Nama | Persamaan Kanonik | Ciri Khas | Trace (Irisan) |
|---|---|---|---|
| Elipsoid | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$ | Permukaan tertutup "telur"; semua trace elips | Elips di setiap bidang koordinat |
| Hiperboloid satu lembar | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ | Terhubung, bisa dianyam (ruled surface); trace $xy$ = elips, trace $xz,yz$ = hiperbola | Elips / hiperbola |
| Hiperboloid dua lembar | $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ | Dua komponen terpisah; trace $xy,xz$ = hiperbola, trace $yz$ = elips (atau kosong) | Hiperbola / elips / kosong |
| Paraboloid elips | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z$ | "Mangkuk" atau "gunung"; semua trace horizontal = elips | Elips / parabola |
| Paraboloid hiperbolik | $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$ | "Pelana kuda"; bisa dianyam; titik pelana di origin | Hiperbola / parabola |
| Konus elips | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}$ | Dua kerucut bertemu di origin; trace horizontal = elips (untuk $z\neq 0$) | Elips / garis / titik |
17.7.3 Sfera
Sfera berpusat di $(x_0, y_0, z_0)$ dengan jari-jari $a$:
Bentuk umum: $x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$, yang merupakan sfera jika $D^2+E^2+F^2 - 4G > 0$, dengan pusat $\left(-\dfrac{D}{2},\,-\dfrac{E}{2},\,-\dfrac{F}{2}\right)$ dan jari-jari $a = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2+F^2-4G}$.
17.7.4 Kerucut
Kerucut elips berpusat di origin dengan sumbu sepanjang sumbu-$z$:
Trace horizontal ($z = k \neq 0$): elips $\dfrac{x^2}{(ak/c)^2} + \dfrac{y^2}{(bk/c)^2} = 1$ yang makin besar seiring $|k|$ meningkat. Trace vertikal melalui origin: sepasang garis lurus (generatrix).
Cara paling andal mengidentifikasi permukaan kuadratik adalah metode trace: potong permukaan dengan tiga bidang koordinat ($x=0$, $y=0$, $z=0$) dan beberapa bidang sejajar ($z = k$ untuk berbagai $k$). Jenis kurva irisan (elips, hiperbola, parabola, garis, titik, kosong) mengungkapkan tipe permukaan. Perhatikan juga: apakah permukaan tertutup (elipsoid) atau terbuka? Apakah terhubung (hiperboloid 1 lembar) atau terpisah (hiperboloid 2 lembar)?
$x^2 - y^2 - z^2 = 1$.
Trace $x=0$: $-y^2-z^2=1$ → tidak ada solusi (kosong).
Trace $y=0$: $x^2-z^2=1$ → hiperbola di bidang $xz$.
Trace $z=0$: $x^2-y^2=1$ → hiperbola di bidang $xy$.
Trace $x=k$ ($|k|>1$): $y^2+z^2=k^2-1$ → lingkaran (elips khusus).
Kesimpulan: hiperboloid dua lembar (satu lembar untuk $x \geq 1$, satu untuk $x \leq -1$). ✓
Trace $x=0$: $z=-y^2$ → parabola terbuka ke bawah di bidang $yz$.
Trace $y=0$: $z=x^2$ → parabola terbuka ke atas di bidang $xz$.
Trace $z=k$:
- $k > 0$: $x^2 - y^2 = k$ → hiperbola (arah $x$)
- $k = 0$: $x^2 = y^2$ → dua garis $y = \pm x$ (generatrix)
- $k < 0$: $y^2 - x^2 = |k|$ → hiperbola (arah $y$)
Kesimpulan: paraboloid hiperbolik (pelana kuda). Di origin, permukaan naik ke arah $\pm x$ dan turun ke arah $\pm y$. ✓
17.8 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 17
| Kuantitas | Rumus |
|---|---|
| Jarak $P_1P_2$ | $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ |
| Panjang vektor | $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ |
| Dot product | $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ |
| Cross product | $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \det$-mnemonik (lihat Def. 17.6) |
| $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ | $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ = luas paralelogram |
| Hasil kali tripel skalar | $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \det[\mathbf{a}\;\mathbf{b}\;\mathbf{c}]$ = volume |
| Proyeksi vektor | $\text{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|^2}\,\mathbf{a}$ |
| Garis (parametrik) | $x=x_0+at,\; y=y_0+bt,\; z=z_0+ct$ |
| Garis (simetrik) | $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ |
| Bidang (titik-normal) | $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ |
| Jarak titik ke garis | $d = \dfrac{|\overrightarrow{P_0P}\times\mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$ |
| Jarak titik ke bidang | $D = \dfrac{|ax_1+by_1+cz_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ |
| Sfera | $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = a^2$ |
Vektor dan geometri $\mathbb{R}^3$ bukan abstraksi murni — mereka adalah bahasa kerja insinyur. Gaya dalam mekanika struktural adalah vektor (dot product untuk komponen normal/tangensial, cross product untuk momen). Medan listrik dan magnetik adalah medan vektor di $\mathbb{R}^3$. Aliran fluida melalui permukaan (bidang, silinder, sfera) memerlukan persamaan bidang dan permukaan kuadratik. Optimasi desain 3D memerlukan gradien (Bab 19) dan bidang tangen (Bab 20) yang dibangun di atas infrastruktur bab ini.
- Tentukan titik tengah dan jarak antara $A(3, -1, 2)$ dan $B(-1, 4, 0)$. Berapa jarak dari titik tengah ke origin?
- Diberikan $\mathbf{a} = \langle 1, -2, 3 \rangle$ dan $\mathbf{b} = \langle 4, 0, -1 \rangle$, hitung: (a) $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$, (b) $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$, (c) sudut antara keduanya, (d) $\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}$, (e) $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ dan interpretasikan sebagai luas.
- Tunjukkan bahwa $\mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle -1, 1, 1 \rangle$, $\mathbf{c} = \langle 0, -5, 5 \rangle$ adalah koplanar dengan menunjukkan hasil kali tripel skalar = 0.
- Carilah persamaan garis yang melalui $(1, -1, 2)$ dan sejajar terhadap irisan bidang $x+y-z=2$ dan $2x-3y+z=1$. Petunjuk: arah garis = cross product dari dua vektor normal.
- Carilah persamaan bidang yang melalui titik $(1, 0, -1)$ dan tegak lurus terhadap garis $\dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z}{2}$.
- Carilah jarak dari titik $(2, 1, -3)$ ke bidang $x - 2y + 2z + 4 = 0$. Berapa jarak dari origin ke bidang yang sama?
- Dua garis: $L_1: \mathbf{r} = \langle 1,0,1\rangle + t\langle 2,1,-1\rangle$ dan $L_2: \mathbf{r} = \langle 0,1,2\rangle + s\langle 1,-1,1\rangle$. Tentukan apakah kedua garis berpotongan, sejajar, atau skew. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya.
- Identifikasi permukaan berikut menggunakan metode trace: (a) $4x^2 + y^2 + 4z^2 = 16$, (b) $z^2 = x^2 + 4y^2$, (c) $z = 4 - x^2 - y^2$, (d) $x^2 - z^2 = 1$.
- Tunjukkan bahwa volume tetrahedron dengan titik-titik sudut $O(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $B(0,b,0)$, $C(0,0,c)$ adalah $V = \dfrac{|abc|}{6}$. Petunjuk: volume paralelepiped / 6.
- Dalam mekanika, momen gaya (torque) didefinisikan sebagai $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, di mana $\mathbf{r}$ adalah vektor posisi dari titik tumpu ke titik aplikasi gaya dan $\mathbf{F}$ adalah vektor gaya. Hitung torque jika $\mathbf{r} = \langle 2, -1, 3 \rangle$ meter dan $\mathbf{F} = \langle 5, 0, -2 \rangle$ Newton. Berapa besarnya dan arahnya?
Bab 17 meletakkan fondasi geometris untuk seluruh Kalkulus III. Dengan penguasaan vektor, dot product, cross product, garis, bidang, dan permukaan kuadratik, kita siap untuk: (1) mendefinisikan fungsi vektor dan kurva di ruang (Bab 18), (2) menghitung turunan parsial dan gradien di permukaan 3D (Bab 19), (3) mengevaluasi integral ganda dan tiga atas daerah yang dibatasi oleh kurva dan permukaan (Bab 21–22), dan (4) merumuskan integral garis dan permukaan yang memuncak dalam teorema Green, Stokes, dan Divergensi (Bab 23–24). Setiap bab berikutnya akan secara langsung menggunakan konsep-konsep dari bab ini.