Koordinat Polar
Bab 15 menunjukkan bahwa representasi kartesian $y = f(x)$ tidak selalu memadai. Koordinat polar menawarkan alternatif yang bahkan lebih radikal: mengganti sepasang sumbu tegak lurus dengan satu jarak radial $r$ dan satu sudut $\theta$. Untuk kurva yang memiliki simetri rotasi atau radial — lingkaran berpusat di origin, spiral, kelopak bunga, kardioid — sistem polar bukan hanya lebih nyaman, tetapi sering kali satu-satunya cara yang mengungkapkan struktur kurva secara alami. Bab ini membangun geometri dan kalkulus lengkap dalam koordinat polar: konversi, penggambaran grafik, turunan, luas, panjang busur, dan luas permukaan benda putar.
16.1 Sistem Koordinat Polar
Dalam koordinat kartesian, titik diidentifikasi oleh jarak ke dua sumbu tegak lurus $(x, y)$. Dalam koordinat polar, titik diidentifikasi oleh jarak ke origin dan sudut dari sumbu-$x$ positif.
Titik $P$ dalam bidang memiliki koordinat polar $(r, \theta)$ di mana:
- $r \geq 0$ adalah jarak radial dari origin (kutub) ke $P$
- $\theta$ adalah sudut polar, diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu-$x$ positif (kutub sumbu)
Secara konvensional: $r \geq 0$ dan $\theta$ dalam radian (meskipun derajat juga digunakan dalam beberapa konteks).
16.2 Konversi Kartesian–Polar
Polar ke Kartesian (selalu valid):
Kartesian ke Polar:
Fungsi $\arctan$ mengembalikan nilai dalam $(-\pi/2, \pi/2)$, sehingga gagal untuk titik di kuadran II dan III. Contoh: titik $(-1, -1)$ memiliki $\arctan(-1/-1) = \arctan(1) = \pi/4$, padahal sudut yang benar adalah $-3\pi/4$ atau $5\pi/4$. Banyak bahasa pemrograman menyediakan fungsi atan2(y, x) yang menangani semua kuadran secara benar.
| Kartesian $(x, y)$ | $r = \sqrt{x^2+y^2}$ | $\theta$ | Polar $(r, \theta)$ |
|---|---|---|---|
| $(3, 4)$ | $5$ | $\arctan(4/3) \approx 0.927$ rad | $(5,\, 0.927)$ |
| $(-1, 0)$ | $1$ | $\pi$ | $(1,\, \pi)$ |
| $(0, -2)$ | $2$ | $-\pi/2$ | $(2,\, -\pi/2)$ |
| $(-\sqrt{3}, -1)$ | $2$ | $\arctan(-1/-\sqrt{3}) + \pi = 7\pi/6$ | $(2,\, 7\pi/6)$ |
Lingkaran $x^2 + y^2 = a^2$. Substitusi $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$:
Lingkaran berpusat di origin menjadi konstanta sederhana dalam koordinat polar. Ini adalah contoh paling kuat dari keunggulan sistem polar. ✓
Garis $x = a$. Substitusi: $r\cos\theta = a$, sehingga $r = \dfrac{a}{\cos\theta} = a\sec\theta$. Garis vertikal dalam kartesian menjadi kurva dalam polar — bukan garis. Ini menunjukkan bahwa "garis lurus" dalam kartesian tidak selalu sederhana dalam polar. ✓
16.3 Non-Unikitas Koordinat Polar
Berbeda dengan koordinat kartesian (satu titik = satu pasang $(x,y)$), koordinat polar tidak unik:
Dan jika kita mengizinkan $r < 0$:
Titik kartesian $(1, 0)$ memiliki representasi polar:
- $(1,\, 0)$, $(1,\, 2\pi)$, $(1,\, 4\pi)$, $\ldots$ (tambah $2k\pi$)
- $(-1,\, \pi)$, $(-1,\, 3\pi)$, $(-1,\, -\pi)$, $\ldots$ (negatifkan $r$, tambah $\pi$)
Semua representasi ini menunjuk ke titik fisik yang sama. ✓
Kecuali dinyatakan lain, kita menggunakan $r \geq 0$ dan $\theta \in [0, 2\pi)$. Namun, saat menggambar kurva polar, sering kali lebih mudah mengizinkan $r < 0$ dan $\theta$ di luar $[0, 2\pi)$ — kurva yang dihasilkan sama, tetapi parametrisasinya lebih sederhana.
16.4 Grafik Kurva Polar: Katalog Utama
Kurva polar diungkapkan sebagai $r = f(\theta)$. Berikut adalah katalog kurva polar yang paling sering muncul.
16.4.1 Lingkaran
| Persamaan Polar | Pusat Kartesian | Jari-jari |
|---|---|---|
| $r = a$ | $(0, 0)$ | $a$ |
| $r = 2a\cos\theta$ | $(a, 0)$ | $a$ |
| $r = 2a\sin\theta$ | $(0, a)$ | $a$ |
16.4.2 Kardioid
Kurva dengan persamaan $r = a(1 + \cos\theta)$ atau variannya disebut kardioid (dari bahasa Yunani kardia = jantung). Bentuk umum:
16.4.3 Limaçon
Limaçon (bahasa Prancis untuk "siput") memiliki bentuk umum:
| Rasio $a/b$ | Nama | Ciri Khas |
|---|---|---|
| $a/b > 1$ | Limaçon tanpa loop (dimpled) | Tidak menyilang origin, ada "cekungan" |
| $a/b = 1$ | Kardioid | Cusp di origin |
| $1 > a/b > 1/2$ | Limaçon dengan loop | Memiliki loop dalam yang melintasi origin |
| $a/b = 1/2$ | Limaçon trakektus | Loop dalam menyentuh cusp luar |
| $a/b < 1/2$ | Limaçon dengan loop dominan | Loop dalam lebih besar dari bagian luar |
16.4.4 Ros (Bunga Mawar)
Kurva dengan persamaan $r = a\cos(n\theta)$ atau $r = a\sin(n\theta)$ disebut ros ber-$n$ kelopak.
| Persamaan | Jumlah Kelopak | Catatan |
|---|---|---|
| $r = a\cos(n\theta)$, $n$ ganjil | $n$ | Setiap kelopak dilalui dua kali saat $\theta$ dari $0$ ke $\pi$ |
| $r = a\cos(n\theta)$, $n$ genap | $2n$ | Perlu $\theta$ dari $0$ ke $2\pi$ untuk melihat semua kelopak |
| $r = a\sin(n\theta)$, $n$ ganjil | $n$ | Rotasi $\pi/(2n)$ dari versi cos |
| $r = a\sin(n\theta)$, $n$ genap | $2n$ | Rotasi $\pi/(2n)$ dari versi cos |
16.4.5 Lemniskat
Kurva ini hanya terdefinisi untuk $\theta$ dimana $\cos(2\theta) \geq 0$ (atau $\sin(2\theta) \geq 0$), menghasilkan dua loop simetris yang menyerupai angka "8" horizontal atau diagonal.
16.4.6 Spiral
| Nama | Persamaan | Ciri Khas |
|---|---|---|
| Spiral Archimedes | $r = a\theta$ | Jarak antara lengan konstan |
| Spiral logaritmik | $r = ae^{b\theta}$ | Sudut antara lengan dan radial konstan; muncul di kulit nautilus dan galaksi spiral |
| Spiral hiperbolik | $r = a/\theta$ | Approach asimtotik ke garis $y = a$ |
16.5 Simetri dalam Koordinat Polar
Sebelum menggambar kurva polar, selalu periksa simetri untuk mengurangi kerja.
| Jenis Simetri | Kondisi pada $r = f(\theta)$ | Arti Geometris |
|---|---|---|
| Simetri terhadap sumbu-$x$ (kutub sumbu) | $f(-\theta) = f(\theta)$ atau $f(\pi - \theta) = -f(\theta)$ | Cermin horizontal |
| Simetri terhadap sumbu-$y$ | $f(\pi - \theta) = f(\theta)$ atau $f(-\theta) = -f(\theta)$ | Cermin vertikal |
| Simetri terhadap origin | $f(\theta + \pi) = -f(\theta)$ atau $f(\theta + \pi) = f(\theta)$ | Rotasi $180^\circ$ |
Kondisi kedua di setiap baris memanfaatkan non-unikitas koordinat polar: jika $f(\pi - \theta) = -f(\theta)$, maka titik $(f(\pi-\theta), \pi-\theta) = (-f(\theta), \pi-\theta) = (f(\theta), \pi - \theta + \pi) = (f(\theta), 2\pi - \theta) = (f(\theta), -\theta)$, yang merupakan cermin dari $(f(\theta), \theta)$ terhadap sumbu-$x$.
$r = 1 + \cos\theta$. Periksa: $f(-\theta) = 1 + \cos(-\theta) = 1 + \cos\theta = f(\theta)$. ✓ Simetri terhadap sumbu-$x$.
$f(\pi - \theta) = 1 + \cos(\pi - \theta) = 1 - \cos\theta \neq f(\theta)$. ✗ Tidak simetri terhadap sumbu-$y$.
Jadi kita hanya perlu menggambar untuk $\theta \in [0, \pi]$ dan mencerminkan. ✓
16.6 Turunan dalam Koordinat Polar
Untuk menghitung kemiringan garis singgung kurva polar $r = f(\theta)$, kita ubah ke parametrik terlebih dahulu.
Untuk kurva polar $r = f(\theta)$, pandang sebagai kurva parametrik $x = r\cos\theta = f(\theta)\cos\theta$, $y = r\sin\theta = f(\theta)\sin\theta$ dengan parameter $\theta$. Maka:
di mana $r' = \dfrac{dr}{d\theta} = f'(\theta)$.
$x = r\cos\theta \implies \dfrac{dx}{d\theta} = r'\cos\theta - r\sin\theta$ (aturan perkalian).
$y = r\sin\theta \implies \dfrac{dy}{d\theta} = r'\sin\theta + r\cos\theta$.
$r = 2\cos\theta$. Maka $r' = -2\sin\theta$:
Di $\theta = \pi/4$ (titik $(1, 1)$): $\dfrac{dy}{dx} = -\cot(\pi/2) = 0$. Garis singgung horizontal — benar karena di titik teratas lingkaran $r = 2\cos\theta$ (yang berpusat di $(1,0)$ dengan jari-jari $1$). ✓
$r = 1 + \cos\theta$, $r' = -\sin\theta$. Di $\theta = \pi$ (cusp, $r = 0$):
Bentuk tak tentu! Kita perlu analisis limit atau L'Hôpital. Bagi pembilang dan penyebut dengan $\sin\theta$ (dekat $\theta = \pi$, tulis $\theta = \pi + h$, $h \to 0$):
Gunakan ekspansi di sekitar $\theta = \pi$: $r \approx \frac{h^2}{2}$, $r' \approx h$. Maka pembilang $\approx h \cdot (-h) + \frac{h^2}{2} \cdot (-1) = -\frac{3h^2}{2}$, penyebut $\approx h \cdot (-1) - \frac{h^2}{2} \cdot (-h) \approx -h$. Rasio: $\dfrac{-3h^2/2}{-h} = \dfrac{3h}{2} \to 0$. Jadi garis singgung horizontal di cusp. ✓
Tangen horizontal: $\dfrac{dy}{d\theta} = 0$, yaitu $r'\sin\theta + r\cos\theta = 0$.
Tangen vertikal: $\dfrac{dx}{d\theta} = 0$, yaitu $r'\cos\theta - r\sin\theta = 0$.
Perhatikan: $r = 0$ (kurva melewati origin) selalu menghasilkan $\frac{dy}{dx} = \frac{0}{0}$ — kemiringan harus ditentukan melalui limit.
16.7 Luas Daerah dalam Koordinat Polar
Ini adalah salah satu aplikasi paling penting dari koordinat polar. Ide dasar: luas elemen kecil berbentuk "sektor" dengan sudut $d\theta$ dan jari-jari $r$.
Luas sektor lingkaran penuh dengan jari-jari $r$ dan sudut $\alpha$ adalah $A = \frac{1}{2}r^2\alpha$ (rumus sektor). Untuk sudut tak hingga kecil $d\theta$: $dA = \frac{1}{2}r^2\,d\theta$. Rumus ini tetap valid bahkan jika $r$ bukan konstanta — pada sudut $d\theta$ yang cukup kecil, perubahan $r$ dapat diabaikan sehingga sektor mendekati sektor lingkaran.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $r = f(\theta)$ dan garis radial $\theta = \alpha$, $\theta = \beta$ (dengan $f(\theta) \geq 0$) adalah:
$r = a$, $\theta \in [0, 2\pi]$:
$r = \cos(2\theta)$. Kelopak pertama terletak di $\theta \in [-\pi/4, \pi/4]$ (dimana $\cos(2\theta) \geq 0$ dan kelopak mengarah ke kanan). Manfaatkan simetri:
Gunakan $\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}$ dengan $u = 2\theta$:
Luas total (4 kelopak): $4 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\pi}{2}$. ✓
Hitung luas daerah yang berada di dalam $r = 3\cos\theta$ dan di luar $r = 1 + \cos\theta$.
Pertama, cari titik potong: $3\cos\theta = 1 + \cos\theta \implies 2\cos\theta = 1 \implies \theta = \pm\pi/3$.
Gunakan $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$:
Luas daerah antara kedua kurva adalah tepat $\pi$. ✓
Untuk luas antara dua kurva polar, selalu gambar sketsa terlebih dahulu untuk menentukan kurva mana yang "di luar" (lebih besar $r$-nya) pada interval yang bersangkutan. Urutan "dalam - luar" bisa berubah di titik potong. Jika salah menentukan mana yang lebih besar, hasil integral bisa negatif — ambil nilai mutlak atau perbaiki urutan.
16.8 Panjang Busur Kurva Polar
Panjang busur kurva $r = f(\theta)$ dari $\theta = \alpha$ hingga $\theta = \beta$:
Dengan $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ sebagai kurva parametrik dalam $\theta$:
$r = a$, $r' = 0$:
$r = a(1 + \cos\theta)$, $r' = -a\sin\theta$. Panjang seluruh kardioid ($\theta$ dari $0$ ke $2\pi$):
Karena $\cos(\theta/2) \geq 0$ untuk $\theta \in [0, \pi]$ dan $\cos(\theta/2) \leq 0$ untuk $\theta \in [\pi, 2\pi]$:
Panjang kardioid $r = a(1+\cos\theta)$ adalah tepat $8a$ — sama dengan panjang satu arch sikloid (Bab 15)! Koincidensi ini bukan kebetulan: kardioid adalah evolut sikloid. ✓
16.9 Luas Permukaan Benda Putar dari Kurva Polar
Kurva polar $r = f(\theta)$ dapat diputar terhadap sumbu-$x$ atau sumbu-$y$ untuk membentuk permukaan benda putar. Rumusnya diperoleh dengan mensubstitusikan rumus panjang busur polar ke dalam rumus luas permukaan standar.
Rotasi terhadap sumbu-$x$ (sumbu kutub):
Rotasi terhadap sumbu-$y$:
Rotasikan $r = a$ (hanya setengah atas, $\theta \in [0, \pi]$) terhadap sumbu-$x$:
Ini adalah luas permukaan sfera berjari-jari $a$ — hasil yang sudah dikenal. ✓
Rotasikan kardioid $r = a(1+\cos\theta)$ terhadap sumbu-$x$. Karena $y = r\sin\theta = a(1+\cos\theta)\sin\theta \geq 0$ untuk $\theta \in [0, \pi]$ dan simetri:
Substitusi $u = 1+\cos\theta$, $du = -\sin\theta\,d\theta$. Batas: $\theta=0 \to u=2$, $\theta=\pi \to u=0$:
Luas permukaan benda putar kardioid terhadap sumbu-$x$ adalah $\dfrac{128\pi a^2}{15}$. ✓
16.10 Panduan Menggambar Kurva Polar
- Periksa simetri (Bagian 16.5) untuk mengurangi rentang $\theta$ yang perlu dianalisis.
- Cari titik-titik khusus:
- $r = 0$: kurva melewati origin. Selesaikan $f(\theta) = 0$.
- $r$ maksimum/minimum: selesaikan $f'(\theta) = 0$.
- Buat tabel nilai: hitung $r$ untuk $\theta = 0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2, \ldots$ pada interval yang relevan.
- Periksa perilaku asimtotik: saat $r \to \infty$ atau $\theta \to$ nilai kritis.
- Gambar titik-titik dan hubungkan dengan kurva mulus, perhatikan arah penelusuran (nilai $\theta$ yang meningkat).
Simetri: $f(\pi - \theta) = 1 + 2\sin(\pi - \theta) = 1 + 2\sin\theta = f(\theta)$. ✓ Simetri terhadap sumbu-$y$.
$r = 0$: $1 + 2\sin\theta = 0 \implies \sin\theta = -1/2 \implies \theta = 7\pi/6,\, 11\pi/6$.
$r$ maks: $r' = 2\cos\theta = 0 \implies \theta = \pi/2$. Di sini $r = 3$ (maksimum).
$r$ min: Di $\theta = 3\pi/2$, $r = 1 - 2 = -1$. Karena $r < 0$, titik ini "terbalik": $(r, \theta) = (-1, 3\pi/2) = (1, \pi/2)$, yang sama dengan titik maksimum! Ini menunjukkan loop melintasi origin.
| $\theta$ | $r = 1+2\sin\theta$ | Kuadran | Catatan |
|---|---|---|---|
| $0$ | $1$ | sumbu+$x$ | Titik awal |
| $\pi/6$ | $2$ | I | — |
| $\pi/2$ | $3$ | sumbu+$y$ | $r$ maks |
| $5\pi/6$ | $2$ | II | — |
| $\pi$ | $1$ | sumbu-$x$ | — |
| $7\pi/6$ | $0$ | III | Melalui origin |
| $3\pi/2$ | $-1$ | sumbu-$y$ | Loop dalam |
| $11\pi/6$ | $0$ | IV | Kembali ke origin |
| $2\pi$ | $1$ | sumbu+$x$ | Kembali ke titik awal |
Kurva memiliki loop dalam (untuk $\theta \in [7\pi/6, 11\pi/6]$ dimana $r < 0$, atau ekuivalen, loop "terbalik" melewati origin) dan bagian luar yang lebih besar. ✓
16.11 Ringkasan: Rumus Kalkulus Koordinat Polar
| Kuantitas | Rumus |
|---|---|
| Konversi ke kartesian | $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ |
| Konversi dari kartesian | $r = \sqrt{x^2+y^2}$, $\theta = \text{atan2}(y,x)$ |
| Kemiringan garis singgung | $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}$ |
| Luas daerah | $A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$ |
| Luas antara dua kurva | $A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_\alpha^\beta \bigl[r_{\text{luar}}^2 - r_{\text{dalam}}^2\bigr]\,d\theta$ |
| Panjang busur | $L = \displaystyle\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\theta$ |
| Luas permukaan (rotasi sumbu-$x$) | $S = 2\pi\displaystyle\int_\alpha^\beta |r\sin\theta|\,\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\theta$ |
| Luas permukaan (rotasi sumbu-$y$) | $S = 2\pi\displaystyle\int_\alpha^\beta |r\cos\theta|\,\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\theta$ |
Polar paling kuat untuk: kurva dengan simetri radial (lingkaran berpusat di origin, spiral, ros, kardioid, lemniskat), luas sektor, dan masalah yang melibatkan sudut dan jarak dari titik tetap. Parametrik (Bab 15) lebih baik untuk: lintasan partikel, kurva yang melibatkan waktu, kurva tertutup kompleks. Kartesian tetap paling sederhana untuk: fungsi biasa $y = f(x)$, grafik data, dan analisis di dekat titik tetap. Dalam praktik, banyak masalah memerlukan konversi antar sistem — pilih sistem yang menyederhanakan rumus, lalu konversi kembali jika perlu.
- Konversikan persamaan-persamaan berikut ke bentuk polar: (a) $x^2 + y^2 = 4x$, (b) $x^2 - y^2 = 1$, (c) $y = x^2$. Untuk (a), kenapa hasilnya sangat sederhana?
- Konversikan persamaan-persamaan polar berikut ke bentuk kartesian dan identifikasi kurvanya: (a) $r = 4\sin\theta$, (b) $r = \dfrac{2}{\cos\theta}$, (c) $r = \dfrac{1}{1+\cos\theta}$.
- Gambar kurva $r = 2 - 4\cos\theta$. Tentukan: (a) jenis limaçon, (b) semua nilai $\theta$ dimana $r = 0$, (c) simetri, (d) nilai $r$ maks dan min.
- Hitung $\dfrac{dy}{dx}$ untuk $r = 1 + \sin\theta$ di $\theta = \pi/6$. Berapa kemiringan garis singgung? Tentukan juga semua titik dengan garis singgung horizontal.
- Hitung luas satu kelopak kurva ros $r = 4\sin(3\theta)$. Berapa luas total seluruh kurva?
- Hitung luas daerah yang berada di dalam $r = 2 + 2\cos\theta$ (kardioid) dan di luar $r = 3$. Petunjuk: tentukan titik potong terlebih dahulu.
- Hitung luas daerah yang dibatasi oleh satu loop kurva $r = \sin(2\theta)$. Berapa total luas keempat loop?
- Hitung panjang busur kurva $r = e^{a\theta}$ (spiral logaritmik) dari $\theta = 0$ hingga $\theta = 2\pi$. Tunjukkan bahwa panjang busur sebanding dengan perubahan $r$ (yaitu $L = \frac{\sqrt{a^2+1}}{a}(r_2 - r_1)$).
- Hitung luas permukaan yang dihasilkan saat memutar kurva $r = 1 + \cos\theta$ terhadap sumbu-$y$. Peringatan: perhatikan tanda $x = r\cos\theta$ pada interval yang berbeda.
- Tunjukkan bahwa luas yang dibatasi oleh satu loop lemniskat $r^2 = a^2\cos(2\theta)$ adalah $a^2$. Kemudian hitung panjang busur loop tersebut (integral ini tidak elementer — nyatakan saja dalam bentuk integral dan jelaskan mengapa).
Dengan berakhirnya Bab 16, kita menyelesaikan Kalkulus II (Semester 2). Perjalanan dari barisan (Bab 9) hingga koordinat polar (Bab 16) telah membangun alat-alat analisis yang sangat kuat: deret tak hingga untuk representasi fungsi, deret Taylor untuk aproksimasi, dan sistem koordinat alternatif untuk geometri. Semester 3 akan membawa kita ke dimensi yang lebih tinggi — ruang tiga dimensi, turunan parsial, integral ganda dan tiga, serta puncaknya: teorema besar kalkulus vektor (Green, Stokes, Divergensi) yang menyatukan semua yang telah dipelajari.