Bab 23

Integral Garis dan Medan Vektor

Bab 21 dan 22 mengintegralkan fungsi atas daerah (2D dan 3D). Bab ini berpindah ke objek geometris yang berbeda: kurva. Integral garis menjumlahkan nilai fungsi sepanjang lintasan kurva — seperti menghitung massa kawat yang bukan lurus, atau kerja yang dilakukan gaya saat bergerak sepanjang jalur melengkung. Untuk menghitung kerja, kita memerlukan konsep baru: medan vektor, yang menetapkan vektor (bukan skalar) di setiap titik. Dari integral garis vektor, kita membangun teori medan konservatif (di mana kerja hanya bergantung pada titik awal dan akhir, bukan jalurnya), dan menemukan syarat sederhana untuk mengenalinya. Puncak bab ini adalah Teorema Green, yang menghubungkan integral garis tertutup di sekitar suatu daerah dengan integral ganda di dalam daerah tersebut — hubungan mengejutkan antara batas dan interior.

Gambar 23.1 — Alur Bab 23: dari definisi medan vektor hingga Teorema Green yang menghubungkan garis dan daerah

23.1 Medan Vektor

Sebuah medan vektor (vector field) menetapkan vektor di setiap titik dalam suatu domain. Ini adalah fungsi yang keluarannya vektor, bukan skalar.

Definisi 23.1 — Medan Vektor

Medan vektor di $\mathbb{R}^2$:

$$\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\,\mathbf{i} + Q(x,y)\,\mathbf{j} = \langle P(x,y),\; Q(x,y) \rangle $$

Medan vektor di $\mathbb{R}^3$:

$$\mathbf{F}(x,y,z) = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k} = \langle P,\; Q,\; R \rangle $$

$P$, $Q$, $R$ disebut komponen medan vektor.

Gambar 23.2 — Dua medan vektor klasik: radial (kiri, menunjuk menjauhi origin) dan rotasi (kanan, berputar berlawanan jarum jam)

Contoh 23.1 — Medan Vektor dalam Fisika

(a) Medan gravitasi Newton: $\mathbf{F} = -\dfrac{GMm}{r^3}\langle x, y, z \rangle$ (vektor menunjuk ke origin).

(b) Medan elektrik muatan titik: $\mathbf{E} = \dfrac{kq}{r^3}\langle x, y, z \rangle$ (menunjuk menjauhi muatan positif).

(c) Medan kecepatan fluida: $\mathbf{v}(x,y,z)$ memberikan kecepatan aliran di setiap titik. ✓

23.2 Integral Garis Skalar

Integral garis skalar menjumlahkan fungsi skalar $f$ sepanjang kurva $C$, dibobot oleh panjang elemen busur $ds$.

Definisi 23.2 — Integral Garis Skalar

Jika $C$ diparametrisasi oleh $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$ untuk $a \leq t \leq b$, dan $f$ kontinu pada $C$:

$$\boxed{\int_C f(x,y)\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt = \int_a^b f(x(t),y(t))\,\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt} $$

Untuk kurva 3D: tambahkan $\left(\frac{dz}{dt}\right)^2$ di dalam akar.

Penting: nilai $\int_C f\,ds$ tidak bergantung pada arah parameterisasi (karena $ds$ selalu positif).

Contoh 23.2 — Massa Kawat

Kawat berbentuk heliks $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$, $0 \leq t \leq 2\pi$, dengan densitas $\delta(x,y,z) = z$.

$$\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle, \qquad |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2} $$

$$M = \int_C z\,ds = \int_0^{2\pi} t\cdot\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{2\pi} = 2\sqrt{2}\,\pi^2 \quad \checkmark $$

23.3 Integral Garis Vektor

Integral garis vektor menjumlahkan komponen medan vektor sepanjang perpindahan $d\mathbf{r}$ — ini adalah dasar perhitungan kerja dalam fisika.

Definisi 23.3 — Integral Garis Vektor

Jika $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ dan $C$ diparametrisasi oleh $\mathbf{r}(t)$, $a \leq t \leq b$:

$$\boxed{\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt} $$

Dalam notasi komponen:

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_C P\,dx + Q\,dy = \int_a^b \left[P(x(t),y(t))\frac{dx}{dt} + Q(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}\right]dt $$

Penting: berbeda dari integral skalar, $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ bergantung pada arah parameterisasi. Membalik arah kurva mengubah tanda integral.

Interpretasi Fisika: Kerja

Jika $\mathbf{F}$ adalah gaya dan $C$ adalah lintasan partikel, maka $W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ adalah kerja total yang dilakukan gaya sepanjang lintasan. Ini generalisasi langsung dari $W = \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$ dalam fisika. Dot product memastikan hanya komponen gaya yang searah dengan perpindahan yang berkontribusi pada kerja.

Contoh 23.3 — Kerja Gaya

$\mathbf{F} = \langle y, x \rangle$. Hitung kerja dari $(0,0)$ ke $(1,1)$ sepanjang: (a) $y = x^2$, (b) $x = y$.

(a) Parameterisasi $y = x^2$: $\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle$, $0 \leq t \leq 1$. $\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 2t \rangle$.

$$W = \int_0^1 \langle t^2, t \rangle \cdot \langle 1, 2t \rangle\,dt = \int_0^1 (t^2 + 2t^2)\,dt = \int_0^1 3t^2\,dt = 1 $$

(b) Parameterisasi $x = y$: $\mathbf{r}(t) = \langle t, t \rangle$, $0 \leq t \leq 1$. $\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 1 \rangle$.

$$W = \int_0^1 \langle t, t \rangle \cdot \langle 1, 1 \rangle\,dt = \int_0^1 2t\,dt = 1 $$

Kedua lintasan memberikan kerja yang sama! Ini bukan kebetulan — medan $\langle y, x \rangle$ adalah konservatif (lihat bagian 23.5). ✓

Contoh 23.4 — Kerja yang Bergantung pada Lintasan

$\mathbf{F} = \langle y, -x \rangle$. Hitung kerja dari $(1,0)$ ke $(0,1)$ sepanjang: (a) kuadran lingkaran $x^2+y^2=1$, (b) garis lurus $x+y=1$.

(a) $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle$, $0 \leq t \leq \pi/2$. $\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t \rangle$.

$$W = \int_0^{\pi/2} (\sin t \cdot (-\sin t) + (-\cos t)\cdot\cos t)\,dt = \int_0^{\pi/2}(-1)\,dt = -\frac{\pi}{2} $$

(b) $\mathbf{r}(t) = \langle 1-t, t \rangle$, $0 \leq t \leq 1$. $\mathbf{r}'(t) = \langle -1, 1 \rangle$.

$$W = \int_0^1 (t \cdot (-1) + (-(1-t))\cdot 1)\,dt = \int_0^1 (-1)\,dt = -1 $$

$-\pi/2 \neq -1$: kerja bergantung pada lintasan! Medan ini bukan konservatif. ✓

23.4 Sirkulasi dan Fluks (2D)

Definisi 23.4 — Sirkulasi dan Fluks

Sirkulasi dari $\mathbf{F}$ sepanjang kurva tertutup $C$ (dilambangkan $\oint_C$):

$$\text{Sirkulasi} = \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \oint_C P\,dx + Q\,dy $$

Mengukur "kecenderungan medan untuk berputar" di sekitar $C$.

Fluks dari $\mathbf{F}$ melintasi kurva tertutup $C$ (arah positif = berlawanan jarum jam):

$$\text{Fluks} = \oint_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,ds = \oint_C P\,dy - Q\,dx $$

di mana $\mathbf{n}$ adalah vektor normal satuan yang menunjuk keluar. Mengukur "seberapa banyak" medan mengalir keluar melintasi $C$.

23.5 Medan Konservatif dan Fungsi Potensial

Definisi 23.5 — Medan Konservatif

Medan vektor $\mathbf{F}$ adalah konservatif jika terdapat fungsi skalar $f$ (disebut fungsi potensial) sehingga:

$$\boxed{\mathbf{F} = \nabla f} $$

Artinya: $P = \frac{\partial f}{\partial x}$ dan $Q = \frac{\partial f}{\partial y}$.

Teorema 23.1 — Sifat-Sifat Medan Konservatif

Untuk medan kontinu pada domain terbuka terhubung, pernyataan berikut ekuivalen:

$\mathbf{F}$ adalah konservatif ($\mathbf{F} = \nabla f$ untuk suatu $f$).
$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ bergantung lintasan bebas (hanya bergantung pada titik awal dan akhir).
$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ untuk setiap kurva tertutup $C$.

Contoh 23.5 — Menemukan Fungsi Potensial

Buktikan $\mathbf{F} = \langle 2xy + 1,\; x^2 \rangle$ konservatif dan temukan $f$.

$P = 2xy + 1 = f_x \implies f = x^2y + x + g(y)$.

$Q = x^2 = f_y = x^2 + g'(y) \implies g'(y) = 0 \implies g(y) = C$.

$$f(x,y) = x^2y + x + C \quad \checkmark $$

Verifikasi: $\nabla f = \langle 2xy + 1, x^2 \rangle = \mathbf{F}$. ✓

23.6 Teorema Fundamental untuk Integral Garis

Teorema 23.2 — Teorema Fundamental Integral Garis

Jika $\mathbf{F} = \nabla f$ adalah medan konservatif dan $C$ adalah kurva mulus dari titik $A$ ke titik $B$, maka:

$$\boxed{\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)} $$

Ini adalah analog 2D/3D dari Teorema Dasar Kalkulus: $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$.

Contoh 23.6 — Menggunakan Teorema Fundamental

Hitung $\int_C (2xy+1)\,dx + x^2\,dy$ dari $(-1, 2)$ ke $(3, 4)$ pada lintasan sembarang.

Dari Contoh 23.5, $f(x,y) = x^2y + x$. Maka:

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(3,4) - f(-1,2) = (9\cdot 4 + 3) - (1\cdot 2 - 1) = 39 - 1 = 38 \quad \checkmark $$

Kita tidak perlu tahu lintasannya! Ini adalah kekuatan utama medan konservatif. ✓

23.7 Uji Kekonservatif

Bagaimana kita tahu apakah suatu medan konservatif tanpa mencari fungsi potensialnya (yang bisa rumit)? Ada uji yang sangat sederhana.

Teorema 23.3 — Uji Komponen (Cross-Partial Test)

Jika $P$ dan $Q$ memiliki turunan parsial kontinu pada domain simply connected $D$, maka:

$$\boxed{\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle \text{ konservatif } \iff \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}} $$

Apa itu "Domain Simply Connected"?

Domain $D$ adalah simply connected jika setiap kurva tertutup di $D$ dapat diperkecil secara kontinu menjadi titik tanpa meninggalkan $D$. Secara visual: $D$ tidak memiliki "lubang".

Simply connected: seluruh $\mathbb{R}^2$, interior lingkaran, interior persegi panjang.
Bukan simply connected: $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ (bidang tanpa titik asal), cincin (annulus).

Contoh 23.7 — Uji Kekonservatif

(a) $\mathbf{F} = \langle 2xy + 1,\; x^2 \rangle$: $P_y = 2x$, $Q_x = 2x$. $P_y = Q_x$ dan domainnya $\mathbb{R}^2$ (simply connected) $\implies$ konservatif. ✓

(b) $\mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle$: $P_y = 1$, $Q_x = -1$. $P_y \neq Q_x$ $\implies$ bukan konservatif. ✓

(c) $\mathbf{F} = \frac{\langle -y, x \rangle}{x^2+y^2}$ pada $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$: $P_y = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = Q_x$. Tapi domainnya bukan simply connected! Dan memang $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2\pi \neq 0$ untuk lingkaran mengelilingi origin. Jadi bukan konservatif meskipun lulus uji komponen. ✓

23.8 Teorema Green

Teorema Green adalah salah satu teorema paling penting dalam kalkulus vektor. Ia menghubungkan integral garis di batas suatu daerah dengan integral ganda di interior daerah tersebut.

Teorema 23.4 — Teorema Green (Bentuk Sirkulasi)

Jika $C$ adalah kurva tertutup mulus, positif berorientasi (berlawanan jarum jam), membatasi daerah $D$, dan $P$, $Q$ memiliki turunan parsial kontinu pada $D \cup C$:

$$\boxed{\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA} $$

Gambar 23.3 — Teorema Green: integral garis tertutup sepanjang batas $C$ = integral ganda di interior $D$. Arah positif adalah berlawanan jarum jam.

Teorema 23.5 — Teorema Green (Bentuk Fluks / Divergensi)

$$\boxed{\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,ds = \oint_C P\,dy - Q\,dx = \iint_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA} $$

di mana $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ adalah divergensi 2D dari $\mathbf{F}$.

Bukti Cepat Teorema Green (Sketsa)

Cukup buktikan untuk $\oint_C P\,dx = -\iint_D P_y\,dA$ (yang lain identik). Asumsikan $D$ Tipe I: $a \leq x \leq b$, $g_1(x) \leq y \leq g_2(x)$.

$$\iint_D P_y\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} P_y\,dy\,dx = \int_a^b [P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x))]\,dx $$

Sisi bawah $y = g_1(x)$, bergerak kiri ke kanan ($x$ naik): $\int_{C_1} P\,dx = \int_a^b P(x, g_1(x))\,dx$.

Sisi atas $y = g_2(x)$, bergerak kanan ke kiri ($x$ turun): $\int_{C_2} P\,dx = \int_b^a P(x, g_2(x))\,dx = -\int_a^b P(x, g_2(x))\,dx$.

$$\oint_C P\,dx = \int_{C_1} + \int_{C_2} = \int_a^b P(x,g_1)\,dx - \int_a^b P(x,g_2)\,dx = -\iint_D P_y\,dA \quad \blacksquare $$

Contoh 23.8 — Menghitung Sirkulasi via Green

Hitung $\oint_C (y^2 - 2x)\,dx + (2x + y^2)\,dy$ di mana $C$ adalah segitiga $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,2)$.

Tanpa Green, kita harus memparameterisasi tiga garis dan menghitung tiga integral. Dengan Green: $P = y^2-2x$, $Q = 2x+y^2$.

$$Q_x - P_y = 2 - 2y $$

$$\iint_D (2 - 2y)\,dA = \int_0^2\!\int_0^{2-x}(2-2y)\,dy\,dx = \int_0^2 \left[2y - y^2\right]_0^{2-x}\,dx $$

$$= \int_0^2 [2(2-x) - (2-x)^2]\,dx = \int_0^2 (4-2x - 4+4x-x^2)\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \quad \checkmark $$

Contoh 23.9 — Luas via Green

Green memberikan rumus luas yang elegan. Pilih $P = -y/2$, $Q = x/2$. Maka $Q_x - P_y = 1/2 - (-1/2) = 1$.

$$\boxed{A = \iint_D 1\,dA = \oint_C -\frac{y}{2}\,dx + \frac{x}{2}\,dy = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx)} $$

Contoh: Luas elips $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $0 \leq t \leq 2\pi$.

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t \cdot (-a\sin t))\,dt = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}(\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt = \pi ab \quad \checkmark $$

23.9 Teorema Green untuk Daerah dengan Lubang

Jika $D$ memiliki lubang (bukan simply connected), Green tetap berlaku dengan syarat batasnya terdiri dari beberapa kurva tertutup, masing-masing dengan orientasi yang tepat.

Teorema 23.6 — Green untuk Daerah Multiply Connected

Jika $D$ dibatasi oleh kurva luar $C_1$ (berlawanan jarum jam) dan kurva dalam $C_2$ (searah jarum jam):

$$\oint_{C_1} P\,dx + Q\,dy - \oint_{C_2} P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA $$

Atau ditulis: $\oint_{\partial D} \ldots$ di mana batas total $\partial D = C_1 \cup (-C_2)$.

Contoh 23.10 — Sirkulasi di Sekitar Lubang

Hitung $\oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}$ di mana $C$ adalah lingkaran $x^2+y^2 = 4$ (berlawanan jarum jam).

Kita tidak bisa langsung gunakan Green pada cakram karena medan tidak terdefinisi di $(0,0)$. Tapi kita bisa menerapkan Green pada cincin antara $C$ (jari-jari 2, CCW) dan $C'$ (jari-jari $\epsilon$, CW).

$$\oint_C - \oint_{C'} = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA = 0 $$

Jadi $\oint_C = \oint_{C'}$. Pada $C'$: $x = \epsilon\cos t$, $y = \epsilon\sin t$:

$$\oint_{C'} \frac{-\epsilon\sin t(-\epsilon\sin t) + \epsilon\cos t(\epsilon\cos t)}{\epsilon^2}\,dt = \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi $$

Jadi $\oint_C = 2\pi$, terlepas dari jari-jari $C$! Ini menjelaskan mengapa medan ini bukan konservatif: ada "lubang" di origin yang menangkap sirkulasi. ✓

23.10 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 23

Kuantitas	Rumus
Int. garis skalar	$\int_a^b f(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt$
Int. garis vektor	$\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt$
Kerja	$W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$
Medan konservatif	$\mathbf{F} = \nabla f$
Uji konservatif	$P_y = Q_x$ (pada domain simply connected)
Fund. Teorem L.G.	$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)$
Green (sirkulasi)	$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D(Q_x - P_y)\,dA$
Green (fluks)	$\oint_C P\,dy - Q\,dx = \iint_D(P_x + Q_y)\,dA$
Luas via Green	$A = \frac{1}{2}\oint_C(x\,dy - y\,dx)$

Jembatan ke Bab 24

Teorema Green menghubungkan integral garis di $\mathbb{R}^2$ dengan integral ganda. Bab 24 menggeneralisasi ini ke $\mathbb{R}^3$ melalui dua teorema besar: Teorema Stokes (menghubungkan integral garis di tepi permukaan dengan integral permukaan dari curl $\nabla \times \mathbf{F}$ — generalisasi langsung Green) dan Teorema Divergensi/Gauss (menghubungkan integral permukaan di batas volume dengan integral tiga dari divergensi $\nabla \cdot \mathbf{F}$ — generalisasi dari bentuk fluks Green). Sebenarnya, Green, Stokes, dan Divergensi adalah kasus khusus dari satu teorema umum (Teorema Stokes Umum) dalam geometri diferensial.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 23

Hitung massa kawat sepanjang kurva $\mathbf{r}(t) = \langle e^{-t}\cos t,\; e^{-t}\sin t \rangle$, $0 \leq t \leq \infty$, jika densitasnya $\delta = x^2 + y^2$.
Hitung $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ untuk $\mathbf{F} = \langle yz,\; xz,\; xy \rangle$ sepanjang garis lurus dari $(1, 2, 3)$ ke $(4, 5, 6)$.
Tentukan apakah medan berikut konservatif. Jika ya, temukan fungsi potensialnya: (a) $\mathbf{F} = \langle e^x\sin y,\; e^x\cos y \rangle$, (b) $\mathbf{F} = \langle e^x\cos y,\; e^x\sin y \rangle$, (c) $\mathbf{F} = \langle 2x+y,\; x+3y \rangle$.
Gunakan Teorema Fundamental Integral Garis untuk menghitung $\int_C y^2\,dx + 2xy\,dy$ dari $(1, 0)$ ke $(-1, 2)$ pada lintasan sembarang. Verifikasi dengan memilih satu lintasan spesifik.
Gunakan Teorema Green untuk menghitung $\oint_C (3y - e^{\sin x})\,dx + (7x + \sqrt{y^4+1})\,dy$ di mana $C$ adalah lingkaran $x^2+y^2 = 9$ berorientasi positif. Petunjuk: perhatikan kemudahan yang muncul dari Green!
Gunakan Teorema Green untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh astroida $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$, $0 \leq t \leq 2\pi$.
Hitung fluks $\mathbf{F} = \langle x^3 + y,\; y^3 - x \rangle$ keluar dari elips $x^2/4 + y^2 = 1$ menggunakan bentuk fluks Green.
Evalusi $\oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}$ di mana $C$ adalah persegi panjang $|x| \leq 2$, $|y| \leq 2$ berorientasi positif. Petunjuk: gunakan Green pada daerah dengan lubang kecil di origin.
Tunjukkan bahwa jika $\mathbf{F}$ konservatif, maka $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ untuk setiap kurva tertutup $C$. (Ini adalah bagian dari Teorema 23.1 — buktikan langsung menggunakan Teorema Fundamental).
Tantangan: Sebuah medan vektor 2D dikatakan harmonik jika $P_x + Q_y = 0$ (divergensi nol) dan $Q_x - P_y = 0$ (curl nol). Tunjukkan bahwa jika $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ harmonik, maka baik $f$ (fungsi potensial untuk $\mathbf{F}$) maupun $g$ (fungsi aliran, yaitu potensial untuk $\mathbf{F}^{\perp} = \langle -Q, P \rangle$) keduanya memenuhi persamaan Laplace: $f_{xx} + f_{yy} = 0$ dan $g_{xx} + g_{yy} = 0$.

Sebelumnya

Bab 22: Integral Tiga

Selanjutnya

Bab 24: Int. Permukaan & Teorema Besar