Bab 23

Integral Garis dan Medan Vektor

Bab 21 dan 22 mengintegralkan fungsi atas daerah (2D dan 3D). Bab ini berpindah ke objek geometris yang berbeda: kurva. Integral garis menjumlahkan nilai fungsi sepanjang lintasan kurva — seperti menghitung massa kawat yang bukan lurus, atau kerja yang dilakukan gaya saat bergerak sepanjang jalur melengkung. Untuk menghitung kerja, kita memerlukan konsep baru: medan vektor, yang menetapkan vektor (bukan skalar) di setiap titik. Dari integral garis vektor, kita membangun teori medan konservatif (di mana kerja hanya bergantung pada titik awal dan akhir, bukan jalurnya), dan menemukan syarat sederhana untuk mengenalinya. Puncak bab ini adalah Teorema Green, yang menghubungkan integral garis tertutup di sekitar suatu daerah dengan integral ganda di dalam daerah tersebut — hubungan mengejutkan antara batas dan interior.

Gambar 23.1 — Alur Bab 23: dari definisi medan vektor hingga Teorema Green yang menghubungkan garis dan daerah

23.1 Medan Vektor

Sebuah medan vektor (vector field) menetapkan vektor di setiap titik dalam suatu domain. Ini adalah fungsi yang keluarannya vektor, bukan skalar.

Definisi 23.1 — Medan Vektor

Medan vektor di $\mathbb{R}^2$:

$$\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\,\mathbf{i} + Q(x,y)\,\mathbf{j} = \langle P(x,y),\; Q(x,y) \rangle$$

Medan vektor di $\mathbb{R}^3$:

$$\mathbf{F}(x,y,z) = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k} = \langle P,\; Q,\; R \rangle$$

$P$, $Q$, $R$ disebut komponen medan vektor.

Gambar 23.2 — Dua medan vektor klasik: radial (kiri, menunjuk menjauhi origin) dan rotasi (kanan, berputar berlawanan arah jarum jam)

Contoh 23.1 — Medan Vektor dalam Fisika

(a) Medan gravitasi Newton: $\mathbf{F} = -\dfrac{GMm}{r^3}\langle x, y, z \rangle$ (vektor menunjuk ke origin).

(b) Medan elektrik muatan titik: $\mathbf{E} = \dfrac{kq}{r^3}\langle x, y, z \rangle$ (menunjuk menjauhi muatan positif).

(c) Medan kecepatan fluida: $\mathbf{v}(x,y,z)$ memberikan kecepatan aliran di setiap titik. ✓

Contoh 23.2 — Medan Gradien

Setiap fungsi skalar $f(x,y)$ menghasilkan medan vektor gradien $\mathbf{F} = \nabla f$. Misalnya $f(x,y) = x^2y - y^3$:

$$\mathbf{F} = \nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle = \langle 2xy,\; x^2 - 3y^2 \rangle $$

Di titik $(2, 1)$: $\mathbf{F}(2,1) = \langle 4, 1 \rangle$ — vektor ini menunjuk ke arah peningkatan $f$ tercepat di titik tersebut, dengan panjang sebesar laju peningkatan. Medan gradien selalu konservatif (lihat Bagian 23.5). ✓

Contoh 23.3 — Mengevaluasi Medan Vektor di Titik

Diberikan $\mathbf{F}(x,y) = \dfrac{\langle x,\, -y \rangle}{\sqrt{x^2 + y^2}}$. Hitung $\mathbf{F}$ di beberapa titik:

$\mathbf{F}(3, 4) = \dfrac{\langle 3, -4 \rangle}{5} = \langle 0.6, -0.8 \rangle$ (panjang = 1)

$\mathbf{F}(-1, 0) = \dfrac{\langle -1,\, 0 \rangle}{1} = \langle -1, 0 \rangle$ (panjang = 1)

$\mathbf{F}(0, 0)$ — tidak terdefinisi (pembagi nol). Domain medan ini adalah $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$.

Perhatikan: medan ini selalu memiliki panjang 1 (medan satuan), menunjuk "keluar" sepanjang sumbu-$x$ dan "masuk" sepanjang sumbu-$y$. Medan seperti ini muncul dalam aliran sumber-telan (source-sink). ✓

23.2 Integral Garis Skalar

Integral garis skalar menjumlahkan fungsi skalar $f$ sepanjang kurva $C$, dibobot oleh panjang elemen busur $ds$.

Definisi 23.2 — Integral Garis Skalar

Jika $C$ diparametrisasi oleh $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$ untuk $a \leq t \leq b$, dan $f$ kontinu pada $C$:

$$\boxed{\int_C f(x,y)\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt = \int_a^b f(x(t),y(t))\,\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt} $$

Untuk kurva 3D: tambahkan $\left(\frac{dz}{dt}\right)^2$ di dalam akar.

Penting: nilai $\int_C f\,ds$ tidak bergantung pada arah parameterisasi (karena $ds$ selalu positif).

Contoh 23.4 — Panjang Kurva ($f = 1$)

Kasus khusus $f \equiv 1$ mengembalikan rumus panjang kurva yang sudah dikenal:

$$L = \int_C 1\,ds = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt $$

Contoh: Panjang kurva $\mathbf{r}(t) = \langle t^2,\; \tfrac{2}{3}t^3 \rangle$, $0 \leq t \leq \sqrt{3}$.

$$\mathbf{r}'(t) = \langle 2t,\; 2t^2 \rangle, \qquad |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1+t^2} $$

$$L = \int_0^{\sqrt{3}} 2t\sqrt{1+t^2}\,dt = \left[\frac{2}{3}(1+t^2)^{3/2}\right]_0^{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}(4^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(8-1) = \frac{14}{3} \quad \checkmark $$

Gambar 23.3: Lintasan kurva parametrik $\mathbf{r}(t) = \langle t^2,\; \tfrac{2}{3}t^3 \rangle$ dari $t=0$ hingga $t=\sqrt{3}$, menghasilkan panjang total busur $L = \frac{14}{3} \approx 4.67$.

Contoh 23.5 — Massa Kawat

Kawat berbentuk heliks $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$, $0 \leq t \leq 2\pi$, dengan densitas $\delta(x,y,z) = z$.

$$\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle, \qquad |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2} $$

$$M = \int_C z\,ds = \int_0^{2\pi} t\cdot\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{2\pi} = 2\sqrt{2}\,\pi^2 \quad \checkmark $$

Contoh 23.6 — Massa dan Pusat Massa Kawat 2D

Kawat setengah lingkaran atas $y = \sqrt{4 - x^2}$, $-2 \leq x \leq 2$, dengan densitas konstan $\delta = 3$. Hitung massa dan koordinat $\bar{y}$ pusat massanya.

Parameterisasi: $\mathbf{r}(t) = \langle 2\cos t,\; 2\sin t \rangle$, $0 \leq t \leq \pi$.

$$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{4\sin^2 t + 4\cos^2 t} = 2 $$

Massa:

$$M = \int_C \delta\,ds = \int_0^{\pi} 3 \cdot 2\,dt = 6\pi $$

Momen terhadap sumbu-$x$:

$$M_x = \int_C y\,\delta\,ds = \int_0^{\pi} (2\sin t)(3)(2)\,dt = 12\int_0^{\pi} \sin t\,dt = 12[-\cos t]_0^{\pi} = 24 $$

$\bar{y} = \dfrac{M_x}{M} = \dfrac{24}{6\pi} = \dfrac{4}{\pi} \approx 1.27$. (Simetri memberikan $\bar{x} = 0$.) ✓

Kemandirian Arah Parameterisasi

Jika kita membalik parameterisasi kurva di atas menjadi $\mathbf{r}(u) = \langle 2\cos(\pi - u),\; 2\sin(\pi - u) \rangle$, $0 \leq u \leq \pi$, maka $|\mathbf{r}'(u)|$ tetap sama (= 2) dan batas integral tetap $0$ ke $\pi$, sehingga $\int_C f\,ds$ tidak berubah. Ini berbeda dengan integral garis vektor (Bagian 23.3) yang berubah tanda saat arah dibalik.

23.3 Integral Garis Vektor

Integral garis vektor menjumlahkan komponen medan vektor sepanjang perpindahan $d\mathbf{r}$ — ini adalah dasar perhitungan kerja dalam fisika.

Definisi 23.3 — Integral Garis Vektor

Jika $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ dan $C$ diparametrisasi oleh $\mathbf{r}(t)$, $a \leq t \leq b$:

$$\boxed{\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt} $$

Dalam notasi komponen:

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_C P\,dx + Q\,dy = \int_a^b \left[P(x(t),y(t))\frac{dx}{dt} + Q(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}\right]dt $$

Penting: berbeda dari integral skalar, $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ bergantung pada arah parameterisasi. Membalik arah kurva mengubah tanda integral.

Interpretasi Fisika: Kerja

Jika $\mathbf{F}$ adalah gaya dan $C$ adalah lintasan partikel, maka $W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ adalah kerja total yang dilakukan gaya sepanjang lintasan. Ini generalisasi langsung dari $W = \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$ dalam fisika. Dot product memastikan hanya komponen gaya yang searah dengan perpindahan yang berkontribusi pada kerja.

Contoh 23.7 — Kerja Gaya (Lintasan Sama)

$\mathbf{F} = \langle y, x \rangle$. Hitung kerja dari $(0,0)$ ke $(1,1)$ sepanjang: (a) $y = x^2$, (b) $x = y$.

(a) Parameterisasi $y = x^2$: $\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle$, $0 \leq t \leq 1$. $\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 2t \rangle$.

$$W = \int_0^1 \langle t^2, t \rangle \cdot \langle 1, 2t \rangle\,dt = \int_0^1 (t^2 + 2t^2)\,dt = \int_0^1 3t^2\,dt = 1$$

(b) Parameterisasi $x = y$: $\mathbf{r}(t) = \langle t, t \rangle$, $0 \leq t \leq 1$. $\mathbf{r}'(t) = \langle 1, 1 \rangle$.

$$W = \int_0^1 \langle t, t \rangle \cdot \langle 1, 1 \rangle\,dt = \int_0^1 2t\,dt = 1$$

Kedua lintasan memberikan kerja yang sama! Ini bukan kebetulan — medan $\langle y, x \rangle$ adalah konservatif (lihat bagian 23.5). ✓

Gambar 23.4: Perbandingan lintasan integrasi dari titik $(0,0)$ ke $(1,1)$. Lintasan melengkung biru (a) mengikuti parabola $y=x^2$, sedangkan lintasan lurus hijau (b) mengikuti garis lurus $y=x$. Keduanya memberikan nilai kerja $W = 1$.

Contoh 23.8 — Kerja yang Bergantung pada Lintasan

$\mathbf{F} = \langle y, -x \rangle$. Hitung kerja dari $(1,0)$ ke $(0,1)$ sepanjang: (a) kuadran lingkaran $x^2+y^2=1$, (b) garis lurus $x+y=1$.

(a) $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle$, $0 \leq t \leq \pi/2$. $\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t \rangle$.

$$W = \int_0^{\pi/2} (\sin t \cdot (-\sin t) + (-\cos t)\cdot\cos t)\,dt = \int_0^{\pi/2}(-1)\,dt = -\frac{\pi}{2}$$

(b) $\mathbf{r}(t) = \langle 1-t, t \rangle$, $0 \leq t \leq 1$. $\mathbf{r}'(t) = \langle -1, 1 \rangle$.

$$W = \int_0^1 (t \cdot (-1) + (-(1-t))\cdot 1)\,dt = \int_0^1 (-1)\,dt = -1$$

$-\pi/2 \neq -1$: kerja bergantung pada lintasan! Medan ini bukan konservatif. ✓

Gambar 23.5: Dua lintasan integrasi dari titik $(1,0)$ menuju $(0,1)$. Jalur melengkung biru (a) mengikuti busur lingkaran satuan, sedangkan jalur hijau (b) mengikuti potongan garis lurus. Karena nilai kerjanya berbeda ($-\pi/2 \neq -1$), medan vektor terbukti tidak konservatif.

Contoh 23.9 — Integral Garis Vektor di 3D

Hitung $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ untuk $\mathbf{F} = \langle y,\; z,\; x \rangle$ sepanjang kurva $\mathbf{r}(t) = \langle t,\; t^2,\; t^3 \rangle$, $0 \leq t \leq 1$.

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle t^2,\; t^3,\; t \rangle, \qquad \mathbf{r}'(t) = \langle 1,\; 2t,\; 3t^2 \rangle$$

$$\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = t^2 \cdot 1 + t^3 \cdot 2t + t \cdot 3t^2 = t^2 + 2t^4 + 3t^3$$

$$\int_0^1 (t^2 + 3t^3 + 2t^4)\,dt = \left[\frac{t^3}{3} + \frac{3t^4}{4} + \frac{2t^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{20+45+24}{60} = \frac{89}{60} \quad \checkmark$$

Gambar 23.6: Lintasan integral garis tiga dimensi $\mathbf{r}(t) = \langle t,\; t^2,\; t^3 \rangle$ dalam ruang berbatas kuadran unit. Kurva bergerak naik melintasi ruang dari titik asal $(0,0,0)$ menuju puncak sudut kotak $(1,1,1)$, menghasilkan nilai integral total sebesar $\frac{89}{60}$.

Contoh 23.10 — Efek Membalik Arah

Hitung $\int_{-C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ untuk $\mathbf{F} = \langle y, -x \rangle$ dan $C$ = kuadran lingkaran dari $(1,0)$ ke $(0,1)$ seperti di Contoh 23.8(a).

Kurva $-C$ pergi dari $(0,1)$ ke $(1,0)$, jadi parameterisasi: $\mathbf{r}(t) = \langle \sin t, \cos t \rangle$, $0 \leq t \leq \pi/2$.

$$\mathbf{r}'(t) = \langle \cos t,\; -\sin t \rangle, \qquad \mathbf{F} = \langle \cos t,\; -\sin t \rangle$$

$$\int_{-C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{\pi/2}(\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt = \int_0^{\pi/2} 1\,dt = \frac{\pi}{2}$$

Benar: $\int_{-C} = -\int_C = -(-\pi/2) = \pi/2$. Membalik arah kurva membalikkan tanda integral garis vektor. ✓

Gambar 23.7: Lintasan kuadran lingkaran yang dibalik arahnya menjadi jalur $-C$. Pergerakan integral dimulai dari titik $(0,1)$ menelusuri busur searah jarum jam menuju titik $(1,0)$. Pembalikan geometri arah ini mengakibatkan nilai tanda integral garis berubah menjadi positif ($\frac{\pi}{2}$).

23.4 Sirkulasi dan Fluks (2D)

Definisi 23.4 — Sirkulasi dan Fluks

Sirkulasi dari $\mathbf{F}$ sepanjang kurva tertutup $C$ (dilambangkan $\oint_C$):

$$\text{Sirkulasi} = \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \oint_C P\,dx + Q\,dy $$

Mengukur "kecenderungan medan untuk berputar" di sekitar $C$.

Fluks dari $\mathbf{F}$ melintasi kurva tertutup $C$ (arah positif = berlawanan jarum jam):

$$\text{Fluks} = \oint_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,ds = \oint_C P\,dy - Q\,dx $$

di mana $\mathbf{n}$ adalah vektor normal satuan yang menunjuk keluar. Mengukur "seberapa banyak" medan mengalir keluar melintasi $C$.

Contoh 23.11 — Sirkulasi Medan Rotasi

Hitung sirkulasi $\mathbf{F} = \langle -y,\; x \rangle$ sepanjang lingkaran $C$: $x^2 + y^2 = R^2$ (berlawanan jarum jam).

Parameterisasi: $\mathbf{r}(t) = \langle R\cos t,\; R\sin t \rangle$, $0 \leq t \leq 2\pi$.

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle -R\sin t,\; R\cos t \rangle, \qquad \mathbf{r}'(t) = \langle -R\sin t,\; R\cos t \rangle $$

$$\text{Sirkulasi} = \int_0^{2\pi} (R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t)\,dt = \int_0^{2\pi} R^2\,dt = 2\pi R^2 $$

Sirkulasi sebanding dengan $R^2$, bukan $R$ — semakin besar lingkaran, semakin besar "putaran" total yang ditangkap. ✓

Contoh 23.12 — Fluks Medan Radial

Hitung fluks $\mathbf{F} = \langle x,\; y \rangle$ keluar dari lingkaran $C$: $x^2 + y^2 = R^2$.

Menggunakan $P\,dy - Q\,dx$: $P = x$, $Q = y$. Pada $C$: $x = R\cos t$, $y = R\sin t$.

$$\text{Fluks} = \oint_C x\,dy - y\,dx = \int_0^{2\pi} [R\cos t \cdot R\cos t - R\sin t \cdot (-R\sin t)]\,dt$$

$$= \int_0^{2\pi} R^2(\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt = 2\pi R^2$$

Atau dengan cara lebih cepat: normal luar $\mathbf{n} = \langle \cos t,\; \sin t \rangle$, $|\mathbf{F}| = R$, jadi $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = R$ dan $\text{Fluks} = \int_0^{2\pi} R \cdot R\,dt = 2\pi R^2$. Hasilnya sama. ✓

Gambar 23.8: Visualisasi fluks keluar dari medan vektor radial $\mathbf{F} = \langle x,\; y \rangle$ yang menembus lintasan tertutup lingkaran $C$ berradius $R$. Anak panah oranye menunjukkan vektor arah normal luar ($\mathbf{n}$) yang selalu searah dengan gaya radial, menghasilkan nilai fluks total positif sebesar $2\pi R^2$.

23.5 Medan Konservatif dan Fungsi Potensial

Definisi 23.5 — Medan Konservatif

Medan vektor $\mathbf{F}$ adalah konservatif jika terdapat fungsi skalar $f$ (disebut fungsi potensial) sehingga:

$$\boxed{\mathbf{F} = \nabla f} $$

Artinya: $P = \frac{\partial f}{\partial x}$ dan $Q = \frac{\partial f}{\partial y}$.

Teorema 23.1 — Sifat-Sifat Medan Konservatif

Untuk medan kontinu pada domain terbuka terhubung, pernyataan berikut ekuivalen:

$\mathbf{F}$ adalah konservatif ($\mathbf{F} = \nabla f$ untuk suatu $f$).
$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ bergantung lintasan bebas (hanya bergantung pada titik awal dan akhir).
$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ untuk setiap kurva tertutup $C$.

Contoh 23.13 — Menemukan Fungsi Potensial (2D)

Buktikan $\mathbf{F} = \langle 2xy + 1,\; x^2 \rangle$ konservatif dan temukan $f$.

$P = 2xy + 1 = f_x \implies f = x^2y + x + g(y)$.

$Q = x^2 = f_y = x^2 + g'(y) \implies g'(y) = 0 \implies g(y) = C$.

$$f(x,y) = x^2y + x + C \quad \checkmark $$

Verifikasi: $\nabla f = \langle 2xy + 1, x^2 \rangle = \mathbf{F}$. ✓

Contoh 23.14 — Fungsi Potensial di 3D

Temukan fungsi potensial untuk $\mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 2z,\; 2y \rangle$.

$P = 2xy = f_x \implies f = x^2y + g(y,z)$.

$Q = x^2 + 2z = f_y = x^2 + g_y(y,z) \implies g_y = 2z \implies g = 2yz + h(z)$.

$R = 2y = f_z = 2y + h'(z) \implies h'(z) = 0 \implies h(z) = C$.

$$f(x,y,z) = x^2y + 2yz + C \quad \checkmark $$

Verifikasi: $\nabla f = \langle 2xy,\; x^2 + 2z,\; 2y \rangle = \mathbf{F}$. ✓

Contoh 23.15 — Medan yang Bukan Konservatif

Coba temukan fungsi potensial untuk $\mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle$.

$P = y = f_x \implies f = xy + g(y)$.

$Q = -x = f_y = x + g'(y) \implies g'(y) = -2x$.

Kontradiksi! $g'(y)$ tidak boleh bergantung pada $x$. Jadi fungsi potensial tidak ada — medan ini bukan konservatif. Ini konsisten dengan Contoh 23.8 di mana kerjanya bergantung pada lintasan. ✓

23.6 Teorema Fundamental untuk Integral Garis

Teorema 23.2 — Teorema Fundamental Integral Garis

Jika $\mathbf{F} = \nabla f$ adalah medan konservatif dan $C$ adalah kurva mulus dari titik $A$ ke titik $B$, maka:

$$\boxed{\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)} $$

Ini adalah analog 2D/3D dari Teorema Dasar Kalkulus: $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$.

Contoh 23.16 — Menggunakan Teorema Fundamental (2D)

Hitung $\int_C (2xy+1)\,dx + x^2\,dy$ dari $(-1, 2)$ ke $(3, 4)$ pada lintasan sembarang.

Dari Contoh 23.13, $f(x,y) = x^2y + x$. Maka:

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(3,4) - f(-1,2) = (9\cdot 4 + 3) - (1\cdot 2 - 1) = 39 - 1 = 38 \quad \checkmark $$

Kita tidak perlu tahu lintasannya! Ini adalah kekuatan utama medan konservatif. ✓

Contoh 23.17 — Menggunakan Teorema Fundamental (3D)

Hitung $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ untuk $\mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2+2z,\; 2y \rangle$ dari $(0,0,0)$ ke $(1,2,3)$ pada lintasan sembarang.

Dari Contoh 23.14, $f(x,y,z) = x^2y + 2yz$. Maka:

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(1,2,3) - f(0,0,0) = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 3) - 0 = 2 + 12 = 14 \quad \checkmark $$

Tidak perlu memparameterisasi lintasan 3D yang mungkin rumit — cukup evaluasi potensial di ujung-ujungnya. ✓

Contoh 23.18 — Verifikasi dengan Lintasan Spesifik

Verifikasi hasil Contoh 23.16 ($= 38$) dengan memilih lintasan berupa dua segmen garis: $(−1,2) \to (3,2)$ lalu $(3,2) \to (3,4)$.

Segmen 1: $y = 2$ konstan, $x$ dari $−1$ ke $3$. $dy = 0$.

$$\int_{C_1} (4x+1)\,dx + x^2 \cdot 0 = \int_{-1}^{3}(4x+1)\,dx = [2x^2+x]_{-1}^{3} = (18+3)-(2-1) = 20 $$

Segmen 2: $x = 3$ konstan, $y$ dari $2$ ke $4$. $dx = 0$.

$$\int_{C_2} 0 + 9\,dy = \int_2^4 9\,dy = 18 $$

Total: $20 + 18 = 38$. Sama persis! Kerja tidak bergantung pada jalur. ✓

23.7 Uji Kekonservatif

Bagaimana kita tahu apakah suatu medan konservatif tanpa mencari fungsi potensialnya (yang bisa rumit)? Ada uji yang sangat sederhana.

Teorema 23.3 — Uji Komponen (Cross-Partial Test)

Jika $P$ dan $Q$ memiliki turunan parsial kontinu pada domain simply connected $D$, maka:

$$\boxed{\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle \text{ konservatif } \iff \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}} $$

Apa itu "Domain Simply Connected"?

Domain $D$ adalah simply connected jika setiap kurva tertutup di $D$ dapat diperkecil secara kontinu menjadi titik tanpa meninggalkan $D$. Secara visual: $D$ tidak memiliki "lubang".

Simply connected: seluruh $\mathbb{R}^2$, interior lingkaran, interior persegi panjang.
Bukan simply connected: $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ (bidang tanpa titik asal), cincin (annulus).

Contoh 23.19 — Uji Kekonservatif

(a) $\mathbf{F} = \langle 2xy + 1,\; x^2 \rangle$: $P_y = 2x$, $Q_x = 2x$. $P_y = Q_x$ dan domainnya $\mathbb{R}^2$ (simply connected) $\implies$ konservatif. ✓

(b) $\mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle$: $P_y = 1$, $Q_x = -1$. $P_y \neq Q_x$ $\implies$ bukan konservatif. ✓

(c) $\mathbf{F} = \frac{\langle -y, x \rangle}{x^2+y^2}$ pada $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$: $P_y = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = Q_x$. Tapi domainnya bukan simply connected! Dan memang $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2\pi \neq 0$ untuk lingkaran mengelilingi origin. Jadi bukan konservatif meskipun lulus uji komponen. ✓

Contoh 23.20 — Uji Kekonservatif di 3D

Di $\mathbb{R}^3$, uji kekonservatif untuk $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ melibatkan tiga persamaan cross-partial (setiap pasang komponen):

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \qquad \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y} $$

Ini ekuivalen dengan $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ (curl nol), yang akan dibahas di Bab 24.

Contoh: $\mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 2z,\; 2y \rangle$.

$$P_y = 2x = Q_x \;\checkmark, \qquad P_z = 0 = R_x \;\checkmark, \qquad Q_z = 2 = R_y \;\checkmark $$

Ketiga persamaan terpenuhi, domainnya $\mathbb{R}^3$ (simply connected) $\implies$ konservatif. Sesuai dengan Contoh 23.14. ✓

Contoh 23.21 — Gagal Uji di Langkah Pertama

Periksa $\mathbf{F} = \langle x^2 + y^2,\; 2xy + 1 \rangle$.

$$P_y = 2y, \qquad Q_x = 2y \qquad \implies \quad P_y = Q_x \;\checkmark $$

Lulus uji komponen! Karena domainnya $\mathbb{R}^2$, medan ini konservatif. Mari temukan $f$:

$P = x^2 + y^2 = f_x \implies f = \frac{x^3}{3} + xy^2 + g(y)$.

$Q = 2xy + 1 = f_y = 2xy + g'(y) \implies g'(y) = 1 \implies g(y) = y + C$.

$$f(x,y) = \frac{x^3}{3} + xy^2 + y + C \quad \checkmark $$

Sekarang kerja dari $(0,0)$ ke $(1,1)$ = $f(1,1) - f(0,0) = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}$, tanpa perlu tahu lintasannya. ✓

Gambar 23.9 — Ilustrasi visual domain simply connected vs. bukan simply connected. Syarat $P_y = Q_x$ hanya menjamin konservatif pada domain simply connected.

23.8 Teorema Green

Teorema Green adalah salah satu teorema paling penting dalam kalkulus vektor. Ia menghubungkan integral garis di batas suatu daerah dengan integral ganda di interior daerah tersebut.

Teorema 23.4 — Teorema Green (Bentuk Sirkulasi)

Jika $C$ adalah kurva tertutup mulus, positif berorientasi (berlawanan jarum jam), membatasi daerah $D$, dan $P$, $Q$ memiliki turunan parsial kontinu pada $D \cup C$:

$$\boxed{\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA}$$

Gambar 23.10 — Teorema Green: integral garis tertutup sepanjang batas $C$ = integral ganda di interior $D$. Arah positif adalah berlawanan jarum jam.

Teorema 23.5 — Teorema Green (Bentuk Fluks / Divergensi)

$$\boxed{\oint_C \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,ds = \oint_C P\,dy - Q\,dx = \iint_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA} $$

di mana $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ adalah divergensi 2D dari $\mathbf{F}$.

Bukti Cepat Teorema Green (Sketsa)

Cukup buktikan untuk $\oint_C P\,dx = -\iint_D P_y\,dA$ (yang lain identik). Asumsikan $D$ Tipe I: $a \leq x \leq b$, $g_1(x) \leq y \leq g_2(x)$.

$$\iint_D P_y\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} P_y\,dy\,dx = \int_a^b [P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x))]\,dx $$

Sisi bawah $y = g_1(x)$, bergerak kiri ke kanan ($x$ naik): $\int_{C_1} P\,dx = \int_a^b P(x, g_1(x))\,dx$.

Sisi atas $y = g_2(x)$, bergerak kanan ke kiri ($x$ turun): $\int_{C_2} P\,dx = \int_b^a P(x, g_2(x))\,dx = -\int_a^b P(x, g_2(x))\,dx$.

$$\oint_C P\,dx = \int_{C_1} + \int_{C_2} = \int_a^b P(x,g_1)\,dx - \int_a^b P(x,g_2)\,dx = -\iint_D P_y\,dA \quad \blacksquare $$

Contoh 23.22 — Menghitung Sirkulasi via Green

Hitung $\oint_C (y^2 - 2x)\,dx + (2x + y^2)\,dy$ di mana $C$ adalah segitiga $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,2)$.

Tanpa Green, kita harus memparameterisasi tiga garis dan menghitung tiga integral. Dengan Green: $P = y^2-2x$, $Q = 2x+y^2$.

$$Q_x - P_y = 2 - 2y $$

$$\iint_D (2 - 2y)\,dA = \int_0^2\!\int_0^{2-x}(2-2y)\,dy\,dx = \int_0^2 \left[2y - y^2\right]_0^{2-x}\,dx $$

$$= \int_0^2 [2(2-x) - (2-x)^2]\,dx = \int_0^2 (4-2x - 4+4x-x^2)\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \quad \checkmark $$

Contoh 23.23 — Keajaiban Green: Integral yang Terlihat Sulit

Hitung $\oint_C (3y - e^{\sin x})\,dx + (7x + \sqrt{y^4+1})\,dy$ di mana $C$ adalah lingkaran $x^2+y^2=4$.

Jika dihitung langsung, fungsi $e^{\sin x}$ dan $\sqrt{y^4+1}$ membuat integral sangat sulit. Tapi dengan Green:

$$Q_x - P_y = 7 - 3 = 4 $$

Fungsi "sulit" menghilang saat di-diferensialkan parsial! Sekarang:

$$\iint_D 4\,dA = 4 \cdot \pi(2)^2 = 16\pi \quad \checkmark $$

Inilah kekuatan utama Teorema Green: mengubah integral garis yang rumit menjadi integral ganda yang sederhana (atau sebaliknya). ✓

Contoh 23.24 — Luas via Green

Green memberikan rumus luas yang elegan. Pilih $P = -y/2$, $Q = x/2$. Maka $Q_x - P_y = 1/2 - (-1/2) = 1$.

$$\boxed{A = \iint_D 1\,dA = \oint_C -\frac{y}{2}\,dx + \frac{x}{2}\,dy = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx)} $$

Contoh: Luas elips $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $0 \leq t \leq 2\pi$.

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t \cdot (-a\sin t))\,dt = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}(\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt = \pi ab \quad \checkmark $$

Contoh 23.25 — Luas Astroida via Green

Hitung luas daerah yang dibatasi astroida $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$, $0 \leq t \leq 2\pi$.

$$dx = -3a\cos^2 t \sin t\,dt, \qquad dy = 3a\sin^2 t \cos t\,dt $$

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (a\cos^3 t \cdot 3a\sin^2 t \cos t - a\sin^3 t \cdot (-3a\cos^2 t \sin t))\,dt $$

$$= \frac{3a^2}{2}\int_0^{2\pi}(\cos^4 t \sin^2 t + \sin^4 t \cos^2 t)\,dt = \frac{3a^2}{2}\int_0^{2\pi}\cos^2 t \sin^2 t\,(\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt $$

$$= \frac{3a^2}{2}\int_0^{2\pi}\cos^2 t \sin^2 t\,dt = \frac{3a^2}{2}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2 2t}{4}\,dt = \frac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi}\frac{1-\cos 4t}{2}\,dt $$

$$= \frac{3a^2}{16}\left[t - \frac{\sin 4t}{4}\right]_0^{2\pi} = \frac{3a^2}{16} \cdot 2\pi = \frac{3\pi a^2}{8} \quad \checkmark $$

Contoh 23.26 — Green untuk Daerah Non-Sederhana (Tipe I+II)

Hitung $\oint_C x^2y\,dx + y^3\,dy$ di mana $C$ adalah batas daerah $D$ yang dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = x$ (daerah di antara kedua kurva, $0 \leq x \leq 1$).

$P = x^2y$, $Q = y^3$. Maka $Q_x - P_y = 0 - x^2 = -x^2$.

Daerah $D$: Tipe I dengan $x^2 \leq y \leq x$, $0 \leq x \leq 1$.

$$\iint_D (-x^2)\,dA = \int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(-x^2)\,dy\,dx = \int_0^1 (-x^2)(x - x^2)\,dx = -\int_0^1(x^3 - x^4)\,dx $$

$$= -\left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = -\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) = -\frac{1}{20} \quad \checkmark $$

Catatan: orientasi positif berarti kita menelusuri $y = x$ dari $(0,0)$ ke $(1,1)$, lalu $y = x^2$ dari $(1,1)$ kembali ke $(0,0)$. ✓

Contoh 23.27 — Fluks via Bentuk Divergensi Green

Hitung fluks $\mathbf{F} = \langle x^3 + y,\; y^3 - x \rangle$ keluar dari lingkaran $x^2+y^2 = 4$.

Menggunakan bentuk fluks: $\text{div}\,\mathbf{F} = P_x + Q_y = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2+y^2)$.

$$\text{Fluks} = \iint_D 3(x^2+y^2)\,dA $$

Gunakan koordinat polar: $x^2+y^2 = r^2$, $dA = r\,dr\,d\theta$, $0 \leq r \leq 2$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$.

$$= \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 3r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = 3\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r^3\,dr\,d\theta = 3\int_0^{2\pi}\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2 d\theta = 3\int_0^{2\pi} 4\,d\theta = 24\pi \quad \checkmark $$

23.9 Teorema Green untuk Daerah dengan Lubang

Jika $D$ memiliki lubang (bukan simply connected), Green tetap berlaku dengan syarat batasnya terdiri dari beberapa kurva tertutup, masing-masing dengan orientasi yang tepat.

Teorema 23.6 — Green untuk Daerah Multiply Connected

Jika $D$ dibatasi oleh kurva luar $C_1$ (berlawanan jarum jam) dan kurva dalam $C_2$ (searah jarum jam):

$$\oint_{C_1} P\,dx + Q\,dy - \oint_{C_2} P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA $$

Atau ditulis: $\oint_{\partial D} \ldots$ di mana batas total $\partial D = C_1 \cup (-C_2)$.

Gambar 23.11 — Green untuk daerah dengan lubang: batas luar $C_1$ berorientasi CCW, batas dalam $C_2$ berorientasi CW. Daerah $D$ adalah cincin di antara keduanya.

Contoh 23.28 — Sirkulasi di Sekitar Lubang

Hitung $\oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}$ di mana $C$ adalah lingkaran $x^2+y^2 = 4$ (berlawanan jarum jam).

Kita tidak bisa langsung gunakan Green pada cakram karena medan tidak terdefinisi di $(0,0)$. Tapi kita bisa menerapkan Green pada cincin antara $C$ (jari-jari 2, CCW) dan $C'$ (jari-jari $\epsilon$, CW).

$$\oint_C - \oint_{C'} = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA = 0 $$

Jadi $\oint_C = \oint_{C'}$. Pada $C'$: $x = \epsilon\cos t$, $y = \epsilon\sin t$:

$$\oint_{C'} \frac{-\epsilon\sin t(-\epsilon\sin t) + \epsilon\cos t(\epsilon\cos t)}{\epsilon^2}\,dt = \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi $$

Jadi $\oint_C = 2\pi$, terlepas dari jari-jari $C$! Ini menjelaskan mengapa medan ini bukan konservatif: ada "lubang" di origin yang menangkap sirkulasi. ✓

Contoh 23.29 — Sirkulasi di Sekitar Persegi Panjang

Hitung $\oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}$ di mana $C$ adalah persegi panjang $|x| \leq 2$, $|y| \leq 2$, berorientasi positif.

Sama seperti Contoh 23.28, kita tidak bisa langsung gunakan Green. Tapi kita tarik lingkaran kecil $C_\epsilon$ (jari-jari $\epsilon$, CW) di sekitar origin, sehingga daerah antara $C$ dan $C_\epsilon$ bebas singularitas.

$$\oint_C - \oint_{C_\epsilon} = \iint (Q_x - P_y)\,dA = 0 \implies \oint_C = \oint_{C_\epsilon} = 2\pi $$

Hasilnya selalu $2\pi$ untuk setiap kurva tertutup yang mengelilingi origin sekali! Nilai ini disebut indeks penyangga (winding number) — ia menghitung berapa kali kurva melingkari singularitas. Jika kurva tidak mengelilingi origin, hasilnya 0. ✓

Contoh 23.30 — Green dengan Dua Lubang

Hitung $\oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}$ di mana $C$ adalah lingkaran besar $x^2+y^2=9$ dan di dalamnya ada dua lubang di $(1,0)$ dan $(-1,0)$, masing-masing dikelilingi lingkaran kecil berjari-jari $0.5$.

Kita terapkan Green pada daerah $D$ (lingkaran besar dikurangi dua lingkaran kecil). Karena $Q_x - P_y = 0$ pada $D$:

$$\oint_{C_{\text{besar}}} - \oint_{C_{\text{kanan}}} - \oint_{C_{\text{kiri}}} = 0 $$

Masing-masing lingkaran kecil menyumbang $2\pi$ (seperti Contoh 23.28, karena masing-masing mengelilingi satu singularitas):

$$\oint_{C_{\text{besar}}} = 2\pi + 2\pi = 4\pi $$

Secara umum, jika $C$ mengelilingi $n$ singularitas, sirkulasinya $2\pi n$. Ini adalah prinsip dasar dalam teori fungsi kompleks (Teorema Residu Cauchy). ✓

23.10 Ringkasan: Rumus-Rumus Kunci Bab 23

Kuantitas	Rumus
Int. garis skalar	$\int_a^b f(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt$
Int. garis vektor	$\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt$
Kerja	$W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$
Medan konservatif	$\mathbf{F} = \nabla f$
Uji konservatif (2D)	$P_y = Q_x$ (pada domain simply connected)
Uji konservatif (3D)	$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ (tiga persamaan cross-partial)
Fund. Teorem L.G.	$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)$
Green (sirkulasi)	$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D(Q_x - P_y)\,dA$
Green (fluks)	$\oint_C P\,dy - Q\,dx = \iint_D(P_x + Q_y)\,dA$
Luas via Green	$A = \frac{1}{2}\oint_C(x\,dy - y\,dx)$
Green (multi-connected)	$\oint_{C_1} - \oint_{C_2} = \iint_D(Q_x - P_y)\,dA$

Jembatan ke Bab 24

Teorema Green menghubungkan integral garis di $\mathbb{R}^2$ dengan integral ganda. Bab 24 menggeneralisasi ini ke $\mathbb{R}^3$ melalui dua teorema besar: Teorema Stokes (menghubungkan integral garis di tepi permukaan dengan integral permukaan dari curl $\nabla \times \mathbf{F}$ — generalisasi langsung Green) dan Teorema Divergensi/Gauss (menghubungkan integral permukaan di batas volume dengan integral tiga dari divergensi $\nabla \cdot \mathbf{F}$ — generalisasi dari bentuk fluks Green). Sebenarnya, Green, Stokes, dan Divergensi adalah kasus khusus dari satu teorema umum (Teorema Stokes Umum) dalam geometri diferensial.

Pertanyaan & Latihan Evaluasi Bab 23

Hitung massa kawat sepanjang kurva $\mathbf{r}(t) = \langle e^{-t}\cos t,\; e^{-t}\sin t \rangle$, $0 \leq t \leq \infty$, jika densitasnya $\delta = x^2 + y^2$.
Hitung panjang kurva $\mathbf{r}(t) = \langle t\cos t,\; t\sin t \rangle$, $0 \leq t \leq 2\pi$. Petunjuk: gunakan substitusi $u = 1+t^2$.
Hitung $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ untuk $\mathbf{F} = \langle yz,\; xz,\; xy \rangle$ sepanjang garis lurus dari $(1, 2, 3)$ ke $(4, 5, 6)$. Petunjuk: periksa apakah $\mathbf{F}$ konservatif terlebih dahulu.
Tentukan apakah medan berikut konservatif. Jika ya, temukan fungsi potensialnya: (a) $\mathbf{F} = \langle e^x\sin y,\; e^x\cos y \rangle$, (b) $\mathbf{F} = \langle e^x\cos y,\; e^x\sin y \rangle$, (c) $\mathbf{F} = \langle 2x+y,\; x+3y \rangle$.
Gunakan Teorema Fundamental Integral Garis untuk menghitung $\int_C y^2\,dx + 2xy\,dy$ dari $(1, 0)$ ke $(-1, 2)$ pada lintasan sembarang. Verifikasi dengan memilih satu lintasan spesifik.
Hitung sirkulasi $\mathbf{F} = \langle -y^2,\; x^2 \rangle$ sepanjang segitiga dengan titik-titik $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ menggunakan Green.
Gunakan Teorema Green untuk menghitung $\oint_C (3y - e^{\sin x})\,dx + (7x + \sqrt{y^4+1})\,dy$ di mana $C$ adalah lingkaran $x^2+y^2 = 9$ berorientasi positif.
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh $y = \sin x$ dan $y = \cos x$ untuk $0 \leq x \leq \pi/4$ menggunakan rumus luas Green.
Hitung fluks $\mathbf{F} = \langle x^3 + y,\; y^3 - x \rangle$ keluar dari elips $x^2/4 + y^2 = 1$ menggunakan bentuk fluks Green.
Evalusi $\oint_C \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}$ di mana $C$ adalah persegi panjang $|x| \leq 2$, $|y| \leq 2$ berorientasi positif. Petunjuk: gunakan Green pada daerah dengan lubang kecil di origin.
Tunjukkan bahwa jika $\mathbf{F}$ konservatif, maka $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ untuk setiap kurva tertutup $C$. (Ini adalah bagian dari Teorema 23.1 — buktikan langsung menggunakan Teorema Fundamental).
Tantangan: Sebuah medan vektor 2D dikatakan harmonik jika $P_x + Q_y = 0$ (divergensi nol) dan $Q_x - P_y = 0$ (curl nol). Tunjukkan bahwa jika $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ harmonik, maka baik $f$ (fungsi potensial untuk $\mathbf{F}$) maupun $g$ (fungsi aliran, yaitu potensial untuk $\mathbf{F}^{\perp} = \langle -Q, P \rangle$) keduanya memenuhi persamaan Laplace: $f_{xx} + f_{yy} = 0$ dan $g_{xx} + g_{yy} = 0$.
Tantangan: Gunakan Green untuk membuktikan bahwa $\oint_C (ax + by)\,dx + (cx + dy)\,dy = (d-a) \cdot A$ di mana $A$ adalah luas daerah yang dibatasi $C$. Dari sini, derivasikan kembali rumus luas Green sebagai kasus khusus.

Sebelumnya

Bab 22: Integral Tiga

Selanjutnya

Bab 24: Int. Permukaan & Teorema Besar